北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷 含解析.docx

数学试题

2024.10.06

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.设集合，若，则实数m=（）

A.0 B. C.0或 D.0或1

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.

【详解】设集合，若，

，或，

当时，，此时；

当时，，此时；

所以或.

故选：C

2.记为等差数列的前n项和．已知，则

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．

【详解】由题知，，解得，∴，故选A．

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

3.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.

【详解】由条件可知，，，，

所以.

故选：B

4.设，则（）

A. B.1 C. D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法法则计算出，求出模长.

【详解】，故.

故选：D

5.下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（）

A. B.

C D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．

【详解】选项A，是非奇非偶函数，是区间上的增函数，错误；

选项B，是偶函数，是区间上的减函数，错误；

选项C，是偶函数，是区间上的增函数，正确；

选项D，是奇函数，是区间上的增函数，错误；

故选：C

6.已知向量，，，若则实数（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值．

【详解】由，，则，

又，则，

则，即，

，解得，

故选：C.

7.函数，则（）

A.若，则为奇函数 B.若，则为偶函数

C.若，则为偶函数 D.若，则为奇函数

【答案】B

【解析】

【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.

【详解】的定义域为，

对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

对B：若，，

，故偶函数，B正确；

对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；

对D：若，，

若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

故选：B

8.已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得的取值范围.

【详解】当时，，，，

当时，，，，

当时，，

所以对任意的，，

函数为奇函数，

又当时，为单调递减函数，

所以函数在上为单调递减函数，

所以不等式可化为，

所以，所以，

由已知对任意的有恒成立，

所以，即，

故的取值范围是.

故选：A.

9.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A. B. C.2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

【详解】设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

10.已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．

【详解】根据函数的单调性可知，，

即可得到，

即可知是方程两个不同非负实根，

所以，

解得．

故选：D．

【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知角α的终边与单位圆交于点，则__________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】由三角函数定义得到，再由诱导公式求出答