《单调性的定义与证明》教学设计一 (1).docxVIP

《单调性的定义与证明》教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

引入问题

教材第95页“情境与问题”

问题1：阅读教材第95页“情境与问题”，其中的函数图像反映了什么规律？

答案：由图像可以看出，当时间间隔逐渐增大时，记忆保持量逐渐降低.

问题2：从中得到的启发是什么？

答案：从函数的角度来讲，对于函数，随的增加而减少.

学生阅读教材第95页“情境与问题”，教师提出问题让学生思考、讨论、交流，然后回答问题.

激发学生学习的兴趣，为学生学习函数的单调性做准备.

概念形成与深化

正比例函数与反比例函数的图像与性质

问题1：观察下列函数图像，说说相同点与不同点.

答案：相同点：图像都是直线，且经过坐标原点.

不同点：图甲中随的增大而增大；图乙中随的增大而减小.

问题2：观察下列函数图像，说说相同点与不同点.

答案：相同点：图像都是反比例函数的图像，且不经过坐标原点.

不同点：图甲中，时，随的增大而减小；图乙中，时，随的增大而增大.

学生观察函数图像，思考，并说说相同点与不同点，教师评价，归纳结论.

培养学生的观察能力、分析能力和语言表达能力.

单调性的定义

一般地，设函数的定义域为，且：

（1）如果对任意，，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增），如图（1）所示；

（2）如果对任意，，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减），如图（2）所示.

问题1：单调性的定义中，，有何特点？

答案：（1）任意性，即，是在定义域内的某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换.

（2）有大小，即确定的两个值，必须区分大小，一般令.

（3）同属一个单调区间.

问题2：理解函数的单调性应注意什么问题？

提示：（1）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集.

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性.

（3）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”（或“，”）连接.如函数在和上单调递减，却不能表述为：函数在上单调递减.

（4）并非所有的函数都具有单调性.如函数就不具有单调性.

教师给出函数单调性的定义，学生理解记忆.

教师提出问题，学生思考，讨论，交流，然后师生共同总结归纳，得出正确答案.

锻炼学生对定义的理解能力、记忆能力.

通过对函数单调性的理解，培养学生的数学抽象素养.

最值点和最值

一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，而称为的最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，而称为的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.

问题：如何求函数在某个区间上的最值点和最值？

提示：如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，可利用函数的单调性求最值点和最值.

教师结合函数图像引导学生理解并记忆函数最值点及最值的定义.

通过对最值点及最值的理解，培养数学抽象素养.

教材第96页下方“尝试与发现”

如图所示的函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是_____函数，在上是_____函数，在上是______函数.

答案：在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.

问题：上图中，能说函数在

上单调递增或单调递减吗？

答案：不能.因为在上函数

中不能保证随的增大而增大或随的增大而减小.

教师引导学生观察函数图像，积极讨论交流，加深对函数的单调性的理解.

培养学生的分析能力、观察能力.

例题讲解

教材第97页例1，例2

例1求证：函数在上是减函数.

证明：任取，且，则，则，从而.

因此，函数在上是减函数.

问题1：利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是什么？

例2判断函数，的单调性，并求出这个函数的最值.

解：任取，，且，则，那么，所以这个函数是增函数.

因此，当时，有.

从而这个函数的最小值为，最大值为.

问题2：例2中求的最值，你还有其他方法吗？求函数的最值的方法有哪些？

教师引导学生自学例题，并归纳总结证明函数单调性的步骤及最值的求法.

培养学生的分析能力、归纳能力和语言表达能力.

课堂练习

教材第102页练习A第1，2题；教材第103页练习B第1，2题.

课堂小结

主要知识：函数单调性的定义；函数最值及最值点的定义.

主要题型：（1）根据函数图像求函数的单调区间；

（2）用定义证明函数的单调性；

（3）根据函数的单调性求最值.

布置作业

教材第102页练习A第3，4题；教材第103页练习B第3题.

板书设计

第1课时单调性的定义与证明

函数单调性的定义：

一般地，设函数的定义域为，且：

（1）如果对任意，，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增），如图（1）所示；

（2）如果对任意，，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减），如图（2）所示.

最值点、最值的