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《同角三角函数的基本关系式》教学设计一

教学设计

一、复习导入

1.在角的终边上任取一点，它与原点的距离为1，请分别写出角的正弦、余弦和正切值.

2.若角在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线.

二、探究新知

1.大家请思考：同一个角的正弦、余弦和正切之间有什么关系呢？

大家不妨先看课前提出的几个特殊的例子：

（1）_________.

（2）_________.

（3）_________，_________.

我们通过计算发现（1）（2）的结果都是1，（3）两空都是，那么对于任意角，是否也会有与成立？如果成立，你能进行简单的证明吗？

师：我们已经知道，如果是终边上不同于坐标原点的点，记，则

.

由此可看出

，

.

2.探究：三角函数可以结合单位圆上点的坐标来定义，你能从圆的几何性质出发，讨论验证一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？

如图：以正弦线，余弦线和半径OP三者的长

构成直角三角形，而且.由勾股定理得，因此，即.

根据三角函数的定义，当时，有.

3.结论：同角三角函数的基本关系式：

，

.

这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.

注意：

（1）是的缩写，读作“的平方”，不能将写成.

（2）“同角”的概念与角的表达形式无关.

（3）据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式时，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）.

三、例题剖析

例1已知，且在第二象限，求角的余弦与正切.

解：.

又在第二象限，.

例2已知，且在第二象限，求角的余弦与正弦.

分析：我们把与看成两个未知数，这样只要列出关于与的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出与.

解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有：

由②得，代入①整理得，所以.因为在第二象限，所以，因此.

小结：

（1）如果已知某个角的一个三角函数值，且角所在的象限是确定的，那么只有一种结果.

（2）如果只给出了某个角的三角函数值，那么要按角所在的象限进行讨论.

例3已知，求的值.

解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有

消去可得，解得或.

当时，；

当时，.

例4化简.

解：原式.

例5求证：（1）；

（2）；

（3）.

证明：（1）原式左边

右边，

因此

.

（2）原式右边

左边，

因此

.

（3）方法一（利用平方关系）：

由题知，因而，即，左边右边，等式成立.

方法二（利用比例关系）：

，且，

.

方法三（作差）：

，

.

小结证明三角恒等式的方法：

（1）从恒等式的一侧入手进行变换，使其和另一侧的形式一致.

（2）将恒等式两边作差，化简令其等于0，或将恒等式两边作商，化简令其等于1.

（3）恒等式两边都是分式形式时，可以采用两边交叉相乘看结果是否相等的方法，但要保证两边的分母均不为0.

四、课堂小结

1.同角三角函数基本关系式的前提是“同角”.

2.利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号.

五、布置作业

教材第26页练习A第1~3题.

板书设计

7.2.3同角三角函数的基本关系式

一、复习导入

二、探究新知

三、例题剖析

例1

例2小结

例3

例4

例5三种证明方法小结

四、课堂小结

五、布置作业