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《有理指数幂》教学设计
教学设计
一、复习回顾，引出新课
回顾初中学过的整数指数幂的概念及其运算性质，引出问题.
问题：某市人口平均年增长率为1.25%，1990年人口数为万，则年后人口数为多少万？
设计意图：从情境中引出关于指数幂的概念，从而导入新课.
教师引导学生回忆整数指数幂的定义并板书.
学生回忆整数指数幂的概念及其运算性质并思考、回答问题.
1.整数指数幂的概念.
.
2.口答练习.
计算下列各式：
，，，，，.
3.整数指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
注：本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围
设计意图：复习已学习的整数指数暴的概念及其运算性质，为后续学习做铺垫.
提问：中，指数是否可以是分数呢？今天这节课我们就主要来探究这个问题，在此之前我们先来学习根式的概念.
二、探究新课
1.次方根与根式.
问题1：在初中我们学过平方根、立方根的概念，它们是如何定义的？它们有何性质？
（1）如果一个数的平方等于，即，那么数称为的平方根.
（2）如果一个数的立方等于，即，那么数称为的立方根.
（3）正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
（4）正数和负数的立方根都只有一个，零的立方根是零.
问题2：以下式子：，，，，，中，±3与9，2与8，-2与-8，±2与16，3与243，-3与-243是什么关系？
±3称为9的平方根，2称为8的立方根，-2称为-8的立方根.
类比：±2称为16的四次方根，3称为243的五次方根，-3称为-243的五次方根.
设计意图：通过学生回忆，独立思考，逐一回答，完成教学，促使学生进一步理解上述概念，并尝试把知识迁移到四次方根和五次方根，由特殊到一般，培养学生归纳、概括的能力.
试想：如果，你能试着说出与的关系吗？
设计意图：安排学生讨论交流“试想”并让多名学生回答，思考并解答根式的相关问题，进一步理解根式的性质，为导出分数指数幂做铺垫.
定义：一般地，给定大于1的正整数和实数，如果存在实数，使得，则称为的次方根.
求的次方根，称为把开次方，也称为开方运算.
的次方根用符号表示.
当有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数.
思考1：类比平方根、立方根，猜想：当为偶数时，一个数的次方根有多少个？当为奇数时呢？
提示：
为正数：
为负数：
零的任意正整数次方根均为零，记为.
思考2：根据次方根的定义，根式具有怎样的性质？
提示：（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，
例如：，，，，.
2.分数指数幂.
我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂.例如
，，
显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.
但是如果规定
，，
则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂的运算那样进行了.
问题：观察以下式子，其中，并总结出规律：
①，
②，
③.
规律：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成以分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.
师：当时，上述规律是否成立？
根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式呢？答案是可以的，如：
，
，
.
师：当时呢？
定义：
（1）一般地，如果是正整数，那么：当有意义且时，规定
；
当没有意义时，称没有意义.
（2）对于一般的正分数（为既约分数），也可作类似（1）的规定，即
.
注意：以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数中的指数都是既约分数.
（3）若是正分数，有意义且时，规定.
（4）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂是根式的一种新的表示方法.
思考3：如何理解分数指数幂？
提示：（1）与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种表示方法，根式与分数指数幂可以相互转化.
（2）底数的取值范围：由分数指数幂的定义知时，可能会有意义；当有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
（3）运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质一样.
3.有理指数幂的运算性质.
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
（1）；
（2）；
（3）.
三、例题分析
1.根式与分数指数幂的互化.
例1（1）若有意义，则实数的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
（2）化简得（）
A.6
B.
C.6或
D.6或或
解析（1）由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是.
（2）原式
答案（1）C（2）C
提醒：在根式与分数指数幂的互化过程中，一定要明确字母的取值范围，以免出错.
2.根式的化简与运算.
例2用分数指数幂表示下列各式（，）：
（1）；（2）；
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