浙江省浙南名校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案).docxVIP

浙江省浙南名校2025届高三上学期第一次联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知复数,,则复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．已知集合,,则()

A. B. C. D.

3．“其身正,不令而行；其身不正,虽令不从”出自《论语·子路》.意思是：当政者本身言行端正,不用发号施令,大家自然起身效法,政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正,虽下命令,大家也不会服从遵守.根据上述材料,“身正”是“令行”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．已知为定义在R上的奇函数,当时,.若在上单调递减,则实数a的取值范围为()

A. B. C. D.

5．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3棵,且每一侧中间的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有()

A.20种 B.40种 C.80种 D.160种

6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,若在上只有一个极大值点,则的最大值为()

A.2 B.3 C.4 D.5

7．已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,若在的右支上存在关于轴对称的两点P,Q,使得为正三角形,且,则C的离心率为()

A. B. C. D.

8．已知为函数的零点,则()

A.1 B.2 C.3 D.4

二、多项选择题

9．已知非零向量,,,则下列结论正确的是()

A.若,则 B.若则

C.若,则 D.向量与向量垂直

10．如图,在正三棱柱中,M,N,D,Q分别为棱,,,的中点,,则以下结论正确的是()

A.平面 B.

C.点Q到平面的距离为 D.三棱锥的外接球表面积为

11．已知抛物线的焦点为F,A,B,P为抛物线C上的点,,若抛物线C在点A,B处的切线的斜率分别为,且两切线交于点M.N为抛物线C的准线与y轴的交点.则以下结论正确的是()

A.若,则

B.直线PN的倾斜角

C.若,则直线AB的方程为

D.的最小值为2

三、填空题

12．已知_____________.

13．已知某中学的3个年级各有学生300,300,400人,现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人,对他们的体重进行了统计.若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48,52,55kg,方差分别为4,10,1.将这10名学生体重W（kg）作为样本,则样本的方差为____________.

14．“四进制”是一种以4为基数的计数系统,使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性,对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始）,然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为;四进制数0033转换为十进制数为;四进制数转换为十进制数为;现将所有由1,2,3组成的4位（如：,）四进制数转化为十进制数,在这些十进制数中任取一个,则这个数能被3整除的概率为________.

四、解答题

15．如图,三棱台中,是正三角形,平面ABC,,M,N分别为棱的中点.

(1)证明：平面;

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

16．已知,函数在点处的切线过点.

(1)求实数b的值;

(2)证明：在上单调递增;

(3)若对恒成立,求实数a的取值范围.

17．如图,四边形中,,,.

(1)求;

(2)P为边上一点,且的面积为,求的外接圆半径.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,且直线与的斜率之积为.

(1)求C的方程;

(2)直线与C交于M,N两点,与y轴交于点A,与x轴交于点B.

（ⅰ）若A,B恰为弦MN的两个三等分点,求直线l的方程;

（ⅱ）若点B与点重合,线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q,求的值.

19．密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学.研究密码变化的客观规律,应用于编制密码以保守通信秘密的,称为编码学;应用于破译密码以获取通信情报的,称为破译学,总称密码学.20世纪70年代,一些学者提出了公开密钥体制,即运用单向函数的数学原理,以实现加、脱密密钥的分离.加密密钥是公开的,脱密密钥是必威体育官网网址的.这种新的密码体制,引起了密码学界的广泛注意和探讨.某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n,将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列,即为密码.记符合上述条件的正整数的个数为.

(1)求数列的前5项和;

(2)求的表达式和的值;

(3)记,数列的前n项和,证明.

参考答案

1．答案：D

解析