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第二十三讲最值问题一

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最值问题，即求最大值、最小值的问题．

这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情

况一一列出，再比较大小．

例题1

（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例

如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？

（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最

小八位数是多少？

「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？

练习1

在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到

417729），能得到的最大六位数是多少？

直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案

一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么

道理，其中有没有什么规律．

例题2

有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比

赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？

「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数

吗？

练习2

有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行

一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？

从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），

两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．

“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．

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例题3

墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均

为整数

米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）养鸡场

「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不

可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？

练习3

墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样

围所得的养鸡场面积最大？

例题4

123456

请将、、、、、这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．

□□□□□□

「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？

练习4

请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．

□□□□□□□□

例题5

墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形

养鸡场，已

知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那

么怎样围所养鸡场