猜题04 第21题 数列的综合应用（解析版）.docx

猜题04第21题数列的综合应用

一、解答题

1．（2022·上海崇明·统考一模）已知数列满足.

(1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；

(2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；

(3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)4或5

【分析】（1）根据题意，找到关于的不等关系，即可求解.

（2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可.

（3）对取不同的值进行判断，再对分情况讨论即可.

【解析】（1）由题意，，令，得，即，则或，此时解得或；令，得，即，两边同时平方解得.则求交集可得，，即

（2）必要性：若数列是等差数列，设公差为d，

则，所以数列是常数列.

充分性：若数列是常数列，

则，即.

所以或.

因为数列的各项互不相同，所以.

所以数列是等差数列.

（3）当时，因为，所以，不符合题意；

当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意；

当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意；

下证当时，不存在m满足题意.

令，

则，且，

所以有以下三种可能：

①；

②；

③.

当时，因为，

由（2）知：，，…，是公差为1（或－1）的等差数列.

当公差为1时，由得或，

所以或，与已知矛盾.

当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.

所以当时，不存在m满足题意.

其它情况同理可得.

综上可知，m的所有取值为4或5.

2．（2022·上海浦东新·校考一模）已知数列的前项和为，且，.

（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；

（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；

（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）首先根据，，求出，再计算即可.

（2）首先由得到，由且，得到数列的通项公式，即可证明数列是等差数列.

（3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，，时，数列不具有性质.当时，对任意，，都有，即当时，数列具有性质.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，得，

解得，则，

所以.

（2）因为，

所以，

解得，

因为，，，

当为奇数时，.

当为偶数时，.

所以对任意，都有.

当时，，即数列是等差数列.

（3）解：由题意，是等比数列，.

①当时，，

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质.

②当时，，.

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质.

③当时，.

，

.

取（表示不小于的最小整数），

则，.

所以对于任意，.

即对于任意，都不在区间内，

所以数列不具有性质.

④当时，，且，

即对任意，，都有，

所以当时，数列具有性质.

综上，使得数列具有性质的正实数的集合为.

【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等差数列的证明，第三问考查等差和等比数列的综合应用，属于难题.

3．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设是正整数，一个有限整数数列，定义它的差集A为构成的集合.

(1)求下列数列的差集A；

①1，2，3，4，5，6，7，8；

②1，2，4，8，16，32

(2)若，，求的最大值和最小值;

(3)若，并且，求满足上述要求的整数列的个数.

【答案】(1)①；②

(2)最大值为，最小值1

(3)

【分析】（1）①②均根据题干中的定义求出差集A；

（2）变形得到，利用绝对值三角不等式得到最大值，变形得到，利用几何意义求出最小值；

（3）对于的情形，设不论取A中的哪个元素，分析出满足要求的整数列的个数均为，进而得到利用累乘法求出答案.

【解析】（1）①因为，所以；

②因为，所以.

（2）

，

即的最大值为，

，

当与越接近时，越小，

比如取，

此时，，

故，

取得最小值1，

故最大值为，最小值1

（3）对于的情形，不论取A中的哪个元素，

满足要求的整数列的个数均为，如果（有种），

则必存在，使得，

此时必须保证与同号，才能满足条件；

如果，则都可以，

从而，于是由累乘法，可得

【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.

4．（2021春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列.

（1）若，，讨论方程的根的个数；

（2）若，，求函数的最小值；

（3）若数列满足：，试求该数列项数n的最大值.

【答案】（1）当，无解；当，无穷解；当，两解；（2）；（3）该数列项数n的最大值为26.

【分析】(1)分