猜题05 第20题 圆锥曲线(上海精选归纳)（解析版）_1.docx

猜题05第20题圆锥曲线(上海精选归纳)

一、解答题

1．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.

(1)若，求此时直线l的方程；

(2)若与直线l垂直的直线过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；

(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为，，若的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）设直线AB斜率为k，，联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，根据向量关系列方程求出A，B的横坐标即可得出直线AB的斜率，进而求出直线AB的方程；

（2）联立直线和抛物线的方程表示出P，Q两点的坐标，求出直线PQ的方程即可得出结论；

（3）设ST交x轴于H，根据三角形的面积关系可知，根据直线ST的斜率列方程化简得出ST的中点的轨迹.

【解析】（1），显然直线的斜率存在且不为.

设直线的方程为，联立，得.

设，则.

又

所以，解得（舍）或

即，，

所以直线l的方程为.

（2）设直线的方程为，则直线的方程为.

设，由（1）可得

联立，得

设，则.则

所以直线的方程为：

整理得，即直线恒过点.

（3）设，准线方程为，则

设直线与轴相交于，则

因为的面积是△STF的面积的两倍，所以，

设的中点为，则.

由得，即

，又，所以，即

故线段ST中点的轨迹方程为.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

2．（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与x轴交于点N，求证：；

(3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)，

【分析】（1）根据已知条件，分别求出a、b、c的值即可.

（2）根据两个斜率的关系式求得，由两点间距离公式求得、即可.

（3）联立直线与椭圆方程解得、，代入直线AB的斜率公式再应用基本不等式可求得结果.

【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由，且，

可得，，所以椭圆C的方程为.

（2）设，，则，，

可得，解得，

又，，所以.

（3）设，，直线，的方程分别为，，

由（2）知，所以，又m，均大于0，可知，

由可得，

所以，即，同理可得，

直线AB的斜率为

（当且仅当时取等号）.

当时，，此时在椭圆C上，

所以，又，可得，

所以直线AB的斜率的最小值为，且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为.

3．（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知椭圆，直线，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，为直角三角形，且到椭圆的右顶点的距离为，点为上的动点，直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)求的面积的取值范围；

(3)设，，直线，判断直线是否经过定点，若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）由为直角三角形及两边相等求出参数，即可求得椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，表达出两点的坐标，让直线与椭圆联立，由韦达定理表达出的表达式，即可求出的面积的取值范围；

（3）设出直线的方程，和椭圆联立，利用韦达定理表达出和，求出和的表达式，代入直线的方程并化简，即可求出定点的坐标.

【解析】（1）由题意，

在椭圆中，

为直角三角形，且，

∴为等腰直角三角形，

∴即，

∵到椭圆的右顶点的距离为，

∴，

∴，所以，

∴椭圆的方程.

（2）由题意及（1）得

在中，

设直线的方程为，，，

由得，

∴，，，

则，

令，则，

∴

∴，当且仅当即时等号成立，

∴.

（3）存在，理由如下：

由题意及（1）（2）得，

直线的斜率显然存在，设为，

由，得，

∴，

由几何知识得，，，

∵，

∴，

同理可得，

代入方程得，

整理得，

令，解得：，

∴当时，

原式=，

即，整理得，则.

即存在这样的点，为.

4．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知点为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.

(1)求