《均值不等式的概念》教学设计二 (1).docxVIP

《均值不等式的概念》教学设计

教学设计

一、阅读引导

1.阅读教材，问题导入.

根据以下提纲，阅读教材第72～74页内容，回答下列问题.

给定两个正数，，可以表示出它们的算术平均值与几何平均值，这两个平均值之间有什么关系呢？与这两个数的相对大小有关系吗？

提示：，只要，都是正数，这个不等式都成立.

2.归纳总结，核心必记.

（1）如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.

（2）均值不等式的实质：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.

二、知识深化

均值不等式

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为，.

思考1：图中可以抽象出什么不等关系？

提示：正方形的边长为，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

思考2：如果，，我们可以用，分别代替，吗？

提示：可以.如果，，则（当且仅当时取等号）.

通常我们把上式写作：如果，，（当且仅当时取等号）.

思考3：两个不等式：与有什么区别？

提示：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求，都是实数，后者要求，都是正数.如是成立的，而是不成立的.

思考4：将两边平方得：，如果矩形的长和宽分别为，，从面积的角度能否得出均值不等式的一个几何意义？

提示：能.所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.

思考5：如图所示的半圆中，为直径，为圆心.已知，，为半圆上一点，且，算出和，你能给出均值不等式的另一个几何意义吗？

提示：半径不小于半弦.

三、例题剖析

例1若，，且，则下列不等式中，恒成立的是（）

A.

B.

C.

D.

想一想1：判断不等式是否成立的方法有哪些？

想一想2：均值不等式等号成立的条件是什么？

想一想3：使用均值不等式的两个数是否是正数？

解析：与可能相等，，故A不正确；对于B，C，当，时，不等式不成立，故B，C不正确；对于D，由于，成立（当且仅当时等号成立）.

答案：D

归纳总结均值不等式的常用变形公式：

由公式和可得出以下结论：

（1）（，，当且仅当时，等号成立）.

（2）（，，当且仅当时，等号成立）.

（3）（，同号）；

（4）.

例2已知，求证，并推导出等号成立的条件.

想一想1：若，这两个数都是正数，是否具备应用均值不等式的条件？

想一想2：等号何时取到？

解：因为，所以，，

根据均值不等式得，

即.

当且仅当，即时，等号成立，因为，等号成立的条件是.

练习：教材第76页练习A第2题.

例3已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.

想一想1：形如的函数的最值都可以用均值不等式求吗？

想一想2：等号何时取到？

解：因为，由均值不等式得

，

当且仅当即（负值舍去）时，取等号.

故当时，取得最小值2.

变式思考：

（1）若，如何求的最值？

（2）若，如何求的取值范围？

练习：教材第76页练习A第1题.

归纳总结利用均值不等式求简单函数的最值时，要符合均值不等式的特点.

四、巩固提升

教材第76页练习B第2，3题.

板书设计

第1课时均值不等式的概念

一、阅读引导

1.均值不等式

（1）均值不等式：如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.

（2）均值不等式的实质

两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.

二、知识深化

1.（当且仅当时等号成立）

2.如果，，则（当且仅当时取等号）

3.两个不等式的区别

4.均值不等式的几何意义

三、例题剖析

例1

例2

例3

四、巩固提升

教学研讨

教案中给出了均值不等式的两种几何解释，比较新颖.例题的设计也是有别于教材，并高于教材，在给出例题的同时设计了大量的问题串，使例题的价值得到了最大化的体现.