常考60题考点专练（沪教版2020必修三全部内容）（解析版）_1.docx

常考60题考点专练（沪教版2020必修三全部内容）

一．棱柱的结构特征（共1小题）

1．（2021秋?闵行区校级月考）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）

A．2 B． C． D．

【分析】由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到△PEQ周长的最小值．

【解答】解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，

在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，

连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，

则MN是△PEQ周长的最小值，

EM＝2，EN＝，∠MEN＝135°，

∴MN＝＝．

∴△PEQ周长的最小值为．

故选：B．

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

二．棱锥的结构特征（共2小题）

2．（2021秋?奉贤区校级期末）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）

A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5

【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．

【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；

4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；

n大于4，也不成立；

在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；

若n＞4，由于任三点不共线，当n＝5时，考虑四个点构成的正四面体，

第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，

且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，

但显然球的半径不等于棱长，故不成立；

同理n＞5，不成立．

故选：B．

【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．

3．（2021秋?奉贤区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝﹣．

【分析】根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可．

【解答】解：由已知得BD＝AB＝，BC＝2，

因为D、E、F三点重合，所以AE＝AD＝，BF＝BD＝AB＝，

则在△ACE中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC?AE?cos∠CAE＝1+3﹣2×＝1，

所以CE＝CF＝1，

则在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题．

三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共5小题）

4．（2021秋?黄浦区校级期中）定义：将24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度；其中小雨（0mm﹣10mm），中雨（10mm﹣25mm），大雨（25mm﹣50mm），暴雨（50mm﹣100mm）；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

【分析】由圆锥的体积公式计算圆锥的体积，除以圆面的面积即可得到降雨量，由题意即可得到答案．

【解答】解：由题意，一个半径为（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为（mm），高为150（mm）的圆锥，

所以积水的厚度为（mm），

由题意可知，这天降雨属于中雨．

故选：B．

【点评】本题考查了圆锥几何结构的应用，圆锥的体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于基础题．

5．（2022春?闵行区校级期末）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．

【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．

【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，

所以它的底面半径为：1，

所以圆柱的表面积为S＝2S底+S侧＝2×12×π+2π×2＝6π．

故答案为：6π．

【点评】本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．

6．（2021秋?徐汇区校级期中）半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．

【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r＝1，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．

【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，

则圆锥的母线长为R，

设圆锥的底面半径为r，

则2πr＝πR，

即r＝1，

∴圆锥的高h＝＝，

∴圆锥的体积V＝＝，

故答