数学课后导练：二面角及其度量.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.在60°的二面角α-a—β内有一点P，P到α、β的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（）

A。B.C.14D。

答案:A

2.已知α-l-β为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面α、β内,且AC与l的夹角为45°(如下图的位置），BD⊥l,AC=，AB=2,BD=4，求CD的长(）

A.B.C。D。4

答案：C

3。过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（)

A.30°B。45°C.60°D。90°

答案：B

4.在梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90°,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,则二面角P—CD-A为_______________。

答案:arctan

5.如右图，ABCD是正方形,E是AB的中点，如果将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_________________.

答案：30°

6。如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.

求证：平面ABC⊥平面BSC.

证明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,

∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角A—BC—S的平面角。设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°。

∴BC=a，SO=a,AO2=AC2-OC2=a2—a2=a2.

∴SA2=AO2+OS2.

∴∠AOS=90°.

从而平面ABC⊥平面BSC。

7.如右图，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.

解：如题图,作CH⊥AB于H,因为PA⊥平面ABC，所以CH⊥PA,从而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,连结CD,由三垂线定理得CD⊥PB,所以∠CDH为二面角A—PB—C的平面角.

在Rt△ACB中，CH=。

∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥BC.又BC⊥AC,

∴BC⊥平面PAC,

∴BC⊥PC.

在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1，在Rt△CHD中，

sin∠CDH==.

故二面角A—PB-C的大小是arcsin。

8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A—BD1

解：过P作PF⊥AD1于F,

∵AB⊥平面AA1D1D，

∴AB⊥PF，

∴PF⊥平面ABD1。

由点F作FE⊥BD1于E,连结EF，则PE为平面ABD1的斜线，EF为PE在平面ABD1内的射影，则PE⊥BD1.

∴∠PEF为二面角A—BD1—P的平面角.

∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴，

∴PF=。

在△PBD1中，PD1=PB=，

∵PE⊥BD1，

∴BE=BD1=.

在Rt△PBE中，PE=，

在Rt△PEF中，sin∠PEF=,

∴∠PEF=30°,

∴二面角A-BD1—P的大小为30°。

9。如右图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ-ABCD中，∠ABC＝90°,ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝。

求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

解析：如右图，延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。

∵AD∥BC,BC=2AD,

∴EA=AB=SA,

∴SE⊥SB.

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线。

又BC⊥EB,

∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影。

∴CS⊥SE。

∴∠BSC是所求二面角的平面角.

∵SB=,BC=1,BC⊥SB，

∴tan∠BSC=，

即所求二面角的正切值为。

综合运用

10。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点。求二面角M-B1

解：用三垂线定理求二面角.BE⊥B1N，Q点为垂足，

∵MB⊥平面BB1N，BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影，且BQ⊥B1N，

∴MQ⊥B1N。

∴∠BQM为二面角M-B1N—B的平面角。

设AB=1,在Rt△BEC中，BC=1，BE=,cos∠NBQ=。

在Rt△BNQ中,

BQ=BNcos∠NBQ=·=。

在Rt△MBQ中