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《函数的应用（二）》教学设计
教学设计
一、创设情境，揭示课题
大约在一千五百年前，我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？你知道古人是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
教师介绍古人的大胆解法：假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔的只数，即47-35=12，鸡的只数就是35-12=23.
引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这些关系的关键.怎样选择恰当的函数模型呢？
问题1：在人口增长、复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
提示：指数函数模型.
问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
提示：二次函数模型.
问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级时，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常说的里氏震级，使用的是什么样的函数模型？
提示：对数函数模型.
设计意图：激发学生学习兴趣，展示学习目标，建立函数模型.
二、结合实例，探究新知
1.常用到的函数模型.
（1）正比例函数模型：；
（2）反比例函数模型：；
（3）一次函数模型：；
（4）二次函数模型：；
（5）指数函数模型：；
（6）对数函数模型：；
（7）幂函数模型：.
2.已知函数模型问题.
例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人口数
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人口数
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
启迪思维：本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.
（1）本例中所涉及的数量有哪些？
（2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
（3）根据表中数据如何确定函数模型？
（4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
（5）如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
提示：完成数学模型的确定之后，因为计算较复杂，故可以借助计算器.
解（1）建立人口模型，
（2）由题意知，
，即，
.
故大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口将达到13亿.
设计意图：在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图像，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.
例2人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人刚能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB的话，则有
.
（1）求等级为0dB的声音的强度；
（2）计算出90dB的声音和60dB的声音的强度比.
解（1）由即
可得.因此等级为0dB的声音的强度为.
（2）设，则
，
解得.
设，同理可得.
因此所求强度比为
.
教师进行规律总结：
对数函数模型：能用类似对数函数表示的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数），函数值增大的速度越来越慢.
课堂练习我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解（1）由题意知，当燕子静止时，它的速度，
可得，解得，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
（2）将
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