1.2 集合间的关系（精讲）（原卷版）_1_1.docx

1.2集合间的关系（精讲）

一．子集、真子集、集合相等

1．子集、真子集、集合相等的相关概念

定义

符号表示

图形表示

子集

如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集

A?B(或B?A)

真子集

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集

AB(或BA)

集合

相等

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等

A＝B

2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

3．子集的性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.

(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.

4.子集的个数

假设集合A中含有n个元素，则有：

(1)A的子集有2n个；

(2)A的非空子集有(2n－1)个；

(3)A的真子集有(2n－1)个；

(4)A的非空真子集有(2n－2)个.

二．空集

1.定义：不含任何元素的集合叫做空集

2.记作：?

3.规定:空集是任何集合的子集，即??A

4.特性

(1)空集只有一个子集，即它的本身，???；

(2)若A≠?，则?A

5.区分：0，{0}，?与{?}之间的关系

?与0

?与{0}

?与{?}

相同点

都表示无的意思

都是集合

都是集合

不同点

?是集合；0是实数

?不含任何元素；{0}含一个元素0

?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是?

关系

0??

?{0}

?{?}或?∈{?}

一．判断集合关系的方法

1.观察法：一一列举观察.

2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

3.数形结合法：利用数轴或Venn图.

二.求给定集合的子集的两个注意点：

1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；

2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

三．由集合间的关系求参数

1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．

2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．

3.注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.

考点一集合间的关系

【例1-1】（2023·江苏）设集合，，则下列关系正确的是（????）

A． B．

C． D．

【例1-2】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（???????）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2023·北京）已知集合，，则（????）

A．? B． C． D．

2．（2022秋·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（?????）.

A． B． C． D．

3．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（????）

A． B． C． D．

考法二空集

【例2-1】（2023安徽）下列集合中为的是（????）

A． B．

C． D．

【例2-2】（2022·上海）下列命题中正确的是（????）

A．空集没有子集

B．空集是任何一个集合的真子集

C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集

D．设集合，那么，若，则

【一隅三反】

1．（2023·天津）下列四个说法中，正确的有（????）

①空集没有子集；

②空集是任何集合的真子集；

③若，则；

④任何集合至少有两个子集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．（2023·北京）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2023·河南）下列四个命题：

①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；

③?＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．

其中正确命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

考法三（真）子集的个数

【例3-1】（2022秋·江苏扬州）已知集合，则集合的真子集个数为（????）

A．8 B．7 C．6 D．5

【例3-2】（2023·海南）若集合A满足?，则集合A所有可能的情形有（????）

A．3种 B．5种 C．7种 D．9种

【一隅三反】

1．（2023·江苏南京）集合的子集个数为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

2．（2023·新疆）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2023·河南开封）已知集合，，则集合B的真子集个数是（????）

A．3 B．4 C．7 D．8

考法四已知集合关系求参数

【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（????）．

A．2 B．1 C． D．

【例