2.2 基本不等式（精讲）（原卷版）_1_1_1.docx

2.2基本不等式（精讲）

一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

二．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

三．利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

基本不等式求最值满足条件

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.

(1)“一正”就是各项必须为正数.

(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.

二．利用基本不等式求最值常见形式与方法

（1）配凑法

①形如f(x)g(x)(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数

②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.

（2）常值代换法

已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求ax+by的最值以及形如或可化为ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+by)·x+y

（3）消元法

对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.

三．恒（能）成立含参数的问题

①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解

分离参数法

分离参数法

利用基本不等式求解实际问题

(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.

(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

考法一直接法求最值

【例1-1】（2023广西）函数的最小值为（????）

A． B．2 C．2 D．4

【例1-2】（2022·北京大兴）当时，的最大值为（???????）

A． B． C． D．

【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（????）

A．6 B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且，则的最大值是（???????）

A． B． C． D．

2．（2023云南）若,那么的最小值是（????）

A．64 B．128 C． D．

3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．2

考法二配凑法求最值

【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则的最小值为（????）

A．8 B．6 C．12 D．10

【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（????）

A．10 B．12 C．13 D．14

【一隅三反】

1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（???????）

A．8 B．7 C．6 D．5

2．（2023·云南）函数的最小值是（????）

A． B．3 C．6 D．12

3．（2022·江苏）当时，函数的最小值为（????）

A． B．

C． D．4

4．（2023北京）函数的最大值是（????）

A．2 B． C． D．

考法三常数替代求最值

【例3-1】（2022·安徽）已知，，，则的最小值是（???????）

A．1 B．2 C．4 D．6

【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足，则的