2.2.3 直线的一般式方程（解析版）.docx

2.2.3直线的一般式方程

【划重点】

1．掌握直线的一般式方程.

2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.

3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．

【知识梳理】

知识点一直线的一般式方程

关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

知识点二直线的五种形式的方程

形式

方程

局限

点斜式

y－y0＝k(x－x0)

不能表示斜率不存在的直线

斜截式

y＝kx＋b

不能表示斜率不存在的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

x1≠x2，y1≠y2

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不能表示与坐标轴平行及过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

无

知识点三直线各种形式方程的互化

知识点四一般式下直线的平行与垂直

设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，

则l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))

l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

【例题详解】

一、直线的一般式方程

例1由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是，经过点；

(2)经过点，平行于x轴；

(3)在x轴和y轴上的截距分别是；

(4)经过两点；

(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；

(6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3．

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或

【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.

【详解】（1）由点斜式得，即.

（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，

由点斜式得，即.

（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；

所以直线方程的截距式为：，即.

（4）由两点式得，即.

（5）斜率，

由点斜式得，即.

（6）斜率为，

因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，

所以所求直线方程为或，即或.

跟踪训练1根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.

（1）经过点，斜率是；????

（2）经过点，平行于x轴；

（3）经过点，；????

（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；

（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；

（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；

（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式．

【详解】（1）由点斜式写出直线方程，

其一般式为；

（2）由点斜式写出直线方程，

其一般式为；

（3）由两点式写出直线方程，

其一般式为；

（4）由截距写出直线方程，

其一般式为．

二、直线的一般式方程的应用

例2设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；

（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）由题意知，当时不符合题意；

当时，令得，

令得，

若在两坐标轴上的截距相等，则，

解得或.

（2）直线的方程可化为，所以，

所以，所以直线过定点，

如下图所示：

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：

（1）先考虑直线过坐标原点的情况；

（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；

（3）两者综合求解出最终结果.

例3直线的方程中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？

(1)过坐标原点；

(2)与两条坐标轴都相交；

(3)与x轴无交点；

(4)与y轴无交点；

(5)与x轴垂直；

(6)与y轴垂直．

【答案】(1)C=0，

(2)，

(3)A=0，

(4)B=0，

(5)B=0，

(6)A=0.

【分析】首先要理解的含义，就是A和B不能同时为0；

（1）直线过原点也是过定点，只要把原点坐标代入即可；

（2）与两个都坐标轴相交，就是既不平行于x轴，也不平行与y轴；

（3）与x轴无交点，就是平行于x轴；

（4）与y轴无交点，就是平行与y轴；

（5）与x轴垂直，就是平行与y轴；

（6）与y轴垂直，就是平行与x轴.

【详解】（1）将（0，0）代入直线方程，得C=0；

（2）与