3.1.1椭圆及其标准方程-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）_1_1.docx

3.1.1椭圆及其标准方程

考点01：椭圆定义及辨析

1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误）

（1）平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．()

（2）椭圆的焦点只能在坐标轴上．()

（3）方程不一定表示椭圆．()

（4）两种椭圆的标准方程中，有时，有时.()

【答案】错误错误正确错误

【分析】根据椭圆的定义以及标准方程的知识判断出正确答案.

【详解】（1）要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”，

还需要这个常数大于两个定点的距离，所以（1）错误.

（2）根据椭圆的定义可知，椭圆的焦点不一定在坐标轴上，所以（2）错误.

（3）对于方程，当时，方程不表示椭圆，所以（3）正确.

（4）在两种椭圆的标准方程中，都是，所以（4）错误.

故答案为：错误；错误；正确；错误

2．椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（????）

A．4 B．6

C．8 D．2

【答案】B

【分析】椭圆的左、右焦点分别为，利用椭圆的定义求解.

【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆长轴长，

不妨令，由，得.

故选：B

考点02：判断方程是否为椭圆

3．以下方程表示椭圆的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案.

【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.

B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.

C选项，方程，即，

表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.

D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.

故选：C

4．椭圆的焦距为4，则的值为（????）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值．

【详解】由椭圆化为标准形式得：

，

且椭圆的焦距，

当椭圆焦点在轴上时，，，

则由，所以，

此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，

当椭圆焦点在轴上时，，，

，解得，

此时方程为：，满足题意

综上所述，的值为．

故选：D．

考点03：利用椭圆定义求方程

5．已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为

【答案】

【分析】设动圆P的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切并与圆内切，得到，进而得到求解.

【详解】设动圆P的圆心为，半径为，

由题意得，

所以，

所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，

则，即，，则，

所以动圆圆心的轨迹方程为，

故答案为：

6．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义，再结合的关系确定椭圆方程.

【详解】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，

且，，，，

所以椭圆的标准方程为.

故答案为：

考点04：根据方程表示椭圆求参数

7．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（????）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】把方程化为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，方程，可化为标，

当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；

若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，

所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.

故选：A.

8．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】依题意，方程表示椭圆，

则，

解得或，

即实数m的取值范围是.

故选：B

考点05：根据椭圆方程求a、b、c

9．椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆的面积．若椭圆的面积是椭圆的4倍，则椭圆的焦距为（????）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据椭圆面积公式建立关于的方程，求值，再根据椭圆方程求，求焦距.

【详解】依题意，，解得，故椭圆的焦距为．

故选：B

10．椭圆的焦点为，上顶点为，若，则实数的值为（????）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【分析】由，得为等边三角形，则可得，所以，再由椭圆方程求得，代入可求出的值

【详解】由，得，则，

因为椭圆的焦点为，上顶点为，，

所以为等边三角形，所以，

所以，所以，

所以，所以，解得，

故选：C

考点06：椭圆方程与椭圆焦点的位置的特征

11．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（????）

A． B．或

C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】由短轴的一个端点与两焦点构