第02讲 数列的证明和通项公式的四种求法（解析）_1.docxVIP

第02讲数列的证明和通项公式的四种求法

考法呈现

考法一：等差、等比数列基本量的运算

例题分析

【例1】已知an为正项等差数列，bn为正项等比数列，其中a2=3,b1=

求an

【答案】(1)an=2

【详解】解：（1）设等差数列an的公差为d，则a

因为a2=3，且

所以a1+d=3,a

所以an

因为b1=a1=1,b1

所以bn

满分秘籍

在等差数列五个基本量

在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

变式训练

【变式1-1】已知数列an是等差数列，其前n和为Sn，a3+a9=12

(1)求数列an，b

【答案】(1)an=

【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到an的通项公式，结合已知等式令n≥2得到第二个等式，两式相减并验证n=1

【详解】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d

因为a3+a

所以a1+2d

解得a1=1

a1

当n≥2时，a1b

①-②可得，anbn=

当n=1时，a1b

所以b

【变式1-2】已知数列an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，数列bn的前n项和为Sn，且a1

(1)求数列an，b

【答案】(1)an=2

【分析】（1）由数列an是等差数列，b

【详解】（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为

由题意可得，a1+d

所以q2

因为q0，所以d

所以an=1+2n

【变式1-3】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S3=74，a1

(1)求数列an，b

【答案】(1)an=

【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的运算求解；

【详解】（1）设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为

由S3=74，

即a11+q+q

即10q2+3q-4=0，解得q=-

从而可得a1=1，所以

又因为b7+b

所以2b1+17d=12+

所以bn

【变式1-4】已知等差数列an满足a2=4，2a4-a

(1)求an与b

【分析】（1）设an的公差为d，由题意可得24+2d-4+3d=7，求得d=3，a1=1，进而可求an=3n-2；设bn的公比为q，由题意可得b

【详解】（1）设an的公差为d，因为a2=4

所以24+2d-4+3d=7，解得

所以an

设bn的公比为q，因为b4

b1≠0，q31+q=8

当q=2时，因为b3=4，所以b1

当q=-1时，因为b3=4，所以b1

【变式1-5】已知等差数列an满足(n+1)an=n2

(1)求an和b

【答案】(1)an=n-9

【分析】（1）方法一：由等比数列通项公式求bn，由数列an的通项公式求其前三项，由条件列方程求k，由此可得

方法二：由等比数列通项公式求bn，设数列an的公差为d，由条件结合等差数列通项公式化简条件可求a1

【详解】（1）解法一：因为数列bn是以1为首项，公比为3

所以bn

因为(n+1)a

所以a1=k-72，

因为数列an

所以2a2=

解得k=-9.

所以(n+1)a

所以an

解法二：因为数列bn是以1为首项，公比为3

所以bn

因为数列an是等差数列，设公差为d，则a

所以(n+1)a

所以d=1a

所以an

【变式1-6】已知an是等差数列，a1=1，d≠0，且a1，

求数列an

【答案】(1)a

【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d，即可求出通项；

【详解】（1）因为{an}是等差数列，a1=1，d≠0，且a

所以a1a4=a22

所以an

考法二：等差、等比数列的证明

例题分析

【例2】已知等比数列an的公比q1，a4=1，且a1

(1)求an

(2)设bn=log

【答案】(1)a

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差中项以及等比数列基本量的计算即可得公比和首项，即可求解，

（2）根据对数的运算性质，即可由等差数列的定义证明.

【详解】（1）由a1，a3的等差中项等于54a

所以52a1q=

解得q=12或q=2

由a4=a1

所以an

（2）因为bn=

所以b1=3，

所以数列bn是首项为3，公差为-

满分秘籍

证明等差数列的常用方法：

证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).

等比数列的四种常用判定方法

（1）定