3.3 幂函数（精讲）（解析版）_1_1.docx

3.3幂函数（精讲）

一．幂函数

1.概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

2.特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件

二.幂函数的图象和性质

1.五个幂函数的图象：

2.幂函数的性质：

幂函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝xeq\s\up6(\f(1,2))

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞)

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

x∈[0，＋∞)，增

x∈(－∞，0]，减

增

增

x∈(0，＋∞)，减

x∈(－∞，0)，减

公共点

都经过点(1，1)

3.一般幂函数的性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

(3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

(4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．

(5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．

(6)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.

判断一个函数是否为幂函数的依据

是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.

二．解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：

①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；

②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象

三．比较幂值大小的两种基本方法

直接法

当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较

转化法

当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小

考点一与幂函数概念相关的问题

【例1】（2023·江苏扬州）已知幂函数的图像经过点，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，故选：B.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（????）

A． B．

C．3 D．

【答案】C

【解析】由题意f(2)＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故选：C

2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知幂函数(α是常数)的图象经过点，那么（????）

A．4 B．-4 C． D．-

【答案】A

【解析】因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，解得，

所以，所以；故选：A

3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（????）．

A． B．4 C． D．8

【答案】C

【解析】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，因为图象过，所以，

所以，即，所以故选：C

考点二幂函数的图像及应用

【例2-1】（2023·海南）给定一组函数解析式：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（????）

????????

??????

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤

C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；

图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；

图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；

图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；

图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；

图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；

图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选：C

【一隅三反】

1．（2023黑龙江哈尔滨）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（????）

A．B．C． D．

【答案】B

【解析】设幂函数，将点代入，得，解得，

所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．

2．（2023·北京）如图，下列3个幂函数的图象，则