3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（原卷版）_1_1.docx

3.5幂函数与一元二次函数（精讲）

一．幂函数

(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝xeq\s\up6(\f(1,2))

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

(－∞，0]上单调

递减；

＋∞)上单调

递增

R上单调递增

[0，＋∞)

上单调递增

(－∞，0)和

(0，＋∞)上

单调递减

公共点

(1，1)

二．一元二次函数

1．二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

R

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)，))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称

3．根与系数的关系

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a)，))|M1M2|＝|x1－x2|＝eq\f(\r(Δ),|a|)．

一．幂函数的性质与图象特征的关系

1.解析式：幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2.奇偶性:判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

3.单调性：

(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．

(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．

(3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．

4.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

二．一元二次函数

1.解析式

2.二次函数图象

（1）是看二次项系数的符号；

（2）是看对称轴和顶点；

（3）是看函数图象上的一些特殊点．

3.二次函数图象与性质

(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．

(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．

4．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．

考法一幂函数的性质

【例1-1】（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（????）．

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（????）

????????

??????

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤

C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①

【例1