4.1 指数运算（精讲）（解析版）_1_1.docx

4.1指数运算（精讲）

一．n次方根，n次根式

1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示

n的奇偶性

a的n次方根的表示符号

a的取值范围

n为奇数

eq\r(n,a)

R

n为偶数

±eq\r(n,a)

[0，＋∞)

3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

二.根式的性质

1.负数没有偶次方根.

2.0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.

3.(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1).

4.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).

5.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数).

三.分数指数幂

1.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；

2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；

3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

四.有理数指数幂的运算性质

1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q).

④eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q).

2.无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

一．eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别

1.eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

2.(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.

二．根式与分数指数幂互化

1.指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.

2.根式化简的步骤

(1)将根式化成分数指数幂的形式.

(2)运用分数指数幂的运算性质求解.

3.利用整体代换法求分数指数幂

(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.

考点一根式的意义求范围

【例1】（2023·云南曲靖）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（????）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确；

取，则，所以无意义，B错误；

因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确；

若，则，所以无意义，D错误.

故选：AC

【一隅三反】

1．（2023·北京）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，的偶次方根无意义.故选：D

2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求

【答案】

【解析】因为，所以，解得，所以，

故答案为：．

3．（2023·全国·高一假期作业）若代数式有意义，则.

【答案】8

【解析】因为代数式有意义，所以且，故，

所以，

故答案为：8.

考点二根式的性质化简或求值

【例2-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各式正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；

当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.

故选：BD.

【例2-2】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期末）（多选）若，化简的结果可能（????）

A． B．. C． D．

【答案】AC

【解析】由化简可得，

所以，

所以或，

又，

所以，

当时，，

当时，，

故选：AC.

【一隅三反】

1．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）（多选）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（????）