人教A版高中数学（必修第二册）重难点题型讲练测 6.4 平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）.doc

第

第PAGE1页共NUMPAGES37页

专题6.4平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果SKIPIF10，SKIPIF10是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF10，有且只有一对实数SKIPIF10，

SKIPIF10，使SKIPIF10.若SKIPIF10，SKIPIF10不共线，我们把{SKIPIF10，SKIPIF10}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量SKIPIF10在给出基底{SKIPIF10，SKIPIF10}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为SKIPIF10，SKIPIF10，取{SKIPIF10，SKIPIF10}作为基

底.对于平面内的任意一个向量SKIPIF10，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得SKIPIF10=xSKIPIF10+ySKIPIF10.这样，平面内的任一向量SKIPIF10都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量SKIPIF10的坐标，记作SKIPIF10=(x,y)①.其中x叫做SKIPIF10在x轴上的坐标，y叫做SKIPIF10在y轴上的坐标，①叫做向量SKIPIF10的坐标表示.

显然，SKIPIF10=(1,0)，SKIPIF10=(0,1)，SKIPIF10=(0,0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

3．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量SKIPIF10=(SKIPIF10,SKIPIF10)，SKIPIF10=(SKIPIF10,SKIPIF10)等价于SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10，SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10，所以SKIPIF10+SKIPIF10=(SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10)+(SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10)=(SKIPIF10

+SKIPIF10)SKIPIF10+(SKIPIF10+SKIPIF10)SKIPIF10