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专题6.4平面向量基本定理及坐标表示(重难点题型精讲)
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果SKIPIF10,SKIPIF10是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF10,有且只有一对实数SKIPIF10,
SKIPIF10,使SKIPIF10.若SKIPIF10,SKIPIF10不共线,我们把{SKIPIF10,SKIPIF10}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知,可将任一向量SKIPIF10在给出基底{SKIPIF10,SKIPIF10}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示,这就是平面向量基本定理的实质.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为SKIPIF10,SKIPIF10,取{SKIPIF10,SKIPIF10}作为基
底.对于平面内的任意一个向量SKIPIF10,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得SKIPIF10=xSKIPIF10+ySKIPIF10.这样,平面内的任一向量SKIPIF10都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量SKIPIF10的坐标,记作SKIPIF10=(x,y)①.其中x叫做SKIPIF10在x轴上的坐标,y叫做SKIPIF10在y轴上的坐标,①叫做向量SKIPIF10的坐标表示.
显然,SKIPIF10=(1,0),SKIPIF10=(0,1),SKIPIF10=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3.平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和(差)的坐标表示
由于向量SKIPIF10=(SKIPIF10,SKIPIF10),SKIPIF10=(SKIPIF10,SKIPIF10)等价于SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10,SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10,所以SKIPIF10+SKIPIF10=(SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10)+(SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10)=(SKIPIF10
+SKIPIF10)SKIPIF10+(SKIPIF10+SKIPIF10)SKIPIF10
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