人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 (3).docVIP

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1.2空间向量基本定理

课后·训练提升

基础巩固

1.(多选题)下列关于空间基底的说法,正确的是()

A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面

B.若三个向量a,b,c不共面,则{a,b,c}可以构成空间的一个基底

C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R,λμ≠0),则{a,b,c}可以构成空间的一个基底

D.若向量{a,b,c}构成空间的一个基底,则向量{a,2b,a-b}也能构成空间的一个基底

答案:AB

解析:由空间基底的定义知,AB中说法正确;C中,c与a,b共面,故{a,b,c}不能构成空间的一个基底,C中说法错误;D中,a-b=a-12×2b,故a,2b,a-b共面,故D中说法错误

2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-

A.OA B.OB

C.OC D.OA

答案:C

解析:由题意可知,OC=12a-12b,且a,b不共线,则a,b,OC共面,故OC

3.在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则MN为()

A.12a-23b+12c B.-23a+

C.12a+12b-23c D.23a+

答案:B

解析:由题意可知,MN=ON-OM=12(OB

4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别为AB,A1C1的中点,则EF的长为()

A.2 B.3

C.5 D.7

答案:C

解析:由题意可知,EF=EA+AA1+A1F,且|EA|=|A1F|=1,|AA1|=2,EA·AA1=0,AA1·A1F=0,EA,A1F=120°,所以|EF|2=EF2=(

5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则AB1与BC1所成角的余弦值为()

A.23 B.26 C.6

答案:C

解析:如图,设AA1=c,AB=a,AC=b,AB=1,则a·b=12,b·c=1

∴AB1·BC

∵|AB1|=|a+c|=3,|BC

∴cosAB1,

∴AB1与BC1所成角的余弦值为66.故选

6.如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,点M为PA的中点,BD=λBN.若MN⊥AD,则实数λ为()

A.2 B.3

C.4 D.5

答案:C

解析:因为四棱锥P-ABCD是正四棱锥,所以四边形ABCD为正方形,PA=PB=PC=PD,因为PA=AB,所以△PAB和△PAD均为等边三角形且边长均相等,所以AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,又点M为PA的中点,BD=λBN,所以MN=MA+AN=-12AP+AB+BN=-12AP+AB+1λBD=-12AP+AB+1λ(AD-AB)=-12AP+1λAD+(1-1λ)AB,因为MN⊥

7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=与n共线,则与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc,

于是有1=λx,-

8.在三棱锥P-SEF中,FM=3ME,MN=2NS,点H为PF的中点,设SP=i,SE=j,SF=k.

(1)记a=PN+SH,试用向量i,j,k

(2)若∠ESF=π2,∠ESP=∠PSF=π3,SE=SF=4,SP=6,求PN

解:(1)由题意得SM-SF=3(

即SM=34

又MN=2NS,所以SN=13SM=14j+

又点H为PF的中点,

所以SH=12SP+12SF=12i+12k,所以a=PN+

(2)由题意得i·j=i·k=6×4×12

所以PN·SH=(14j+112k-i)·(1

=14×12·i·j+112×12·i·k-12i2

=14×12×12+112×12×12-

能力提升

1.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,O为空间中任意一点,则能使向量MA,MB,MC

A.OM

B.MA

C.OM

D.MA=2MB

答案:C

解析:对于A,由OM=13OA+13OB+13OC,可知M,A,B,C四点共面,即MA,MB

2.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()

A.14,

C.13,

答案:A

解析:如图,由已知得OG=34OG1.因为G

所以OG1=13OA+1

3.(多选题)下列说法中,正确的是()

A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空间的基底

B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底