2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．

1．已知a，b∈R，a﹣2i＝（b﹣i）i，若z＝a+bi，则z的虚部是（）

A．2 B．1 C．﹣2i D．2i

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知cosA=45，

A．6 B．6 C．8 D．2

3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．函数y=ln|x|

A． B．

C． D．

5．如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点（|AN|＜|NM|），若存在实数λ和μ，使得BN→=λAB→+μ

A．54 B．12 C．-12

6．已知函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），当x∈[﹣3，0）时，f（x）＝2x+sinπx3，则f（2023

A．14-32 B．-14 C

7．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，-π2＜φ＜π2

A．π12 B．π6 C．π4

8．给定函数f（x）＝（x+1）ex﹣a（a∈R），若函数f（x）恰有两个零点，则a的取值范围是（）

A．a＜-1e2 B．a≥0 C．-

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中正确的是（）

A．若a→=b

B．BC→

C．若向量a→，b→是非零向量，则|

D．向量a→与b→(b

10．已知向量m→=(2cos2x，3)，

A．f（x）的最小正周期为π

B．f（x）的图象关于点(5π12

C．f（x）的图象关于直线x=π6

D．f（x）的图象可以由y＝2sin2x的图象向左平移π6个单位，再向上平移1

11．已知数列{an}满足a1

A．an＝2n+2 B．{an}的前n项和为n（n+3）

C．{（﹣1）nan}的前100项和为﹣100 D．{|an﹣10|}的前20项和为284

12．已知函数f(x)=x

A．函数f（x）有极小值

B．函数f（x）在x＝1处切线的斜率为4

C．当k∈(-2e2，6

D．若x∈[0，t]时，f(x)max=6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等差数列{an}满足a1＝2，a2+a4＝a6，则公差d＝．

14．已知向量a→与b→的夹角为2π3，且|a→|=10，b→

15．已知sin(α-β)=13，cosαsinβ=16，则cos（2

16．已知函数f（x）=2-|x|，(x≤2)(x-2)2，(x＞2)，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），若函数y＝f（x）﹣g（

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=4

（1）求sin2

（2）若△ABC的面积S＝3，且b＝2，求△ABC的外接圆半径R．

18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1．

（1）证明数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=2n-1an+n，求数列{bn}

19．（12分）如图，五面体P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=π2，PD＝BC＝CD=12AD，

（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；

（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．

20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

（1）求图中a的值；

（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；

晋级情况性别

晋级成功

晋级失败

总计

男

16

女

50

总计

（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．

参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝2x﹣3．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最