人教A版高中数学（必修第二册）重难点题型讲练测 10.2 事件的相互独立性（原卷版）.doc

第

第PAGE1页共NUMPAGES24页

专题10.2事件的相互独立性（重难点题型精讲）

1．事件的相互独立性

(1)定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质

若事件A与B相互独立，则SKIPIF10与B，A与SKIPIF10，SKIPIF10与SKIPIF10也相互独立.

(3)应用

因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它

们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.

(4)推广

两个事件的相互独立性可以推广到n(n2，n∈SKIPIF10)个事件的相互独立性，即若事件SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10)=P(SKIPIF10)P(SKIPIF10)SKIPIF10P(SKIPIF10).

2．互斥事件与相互独立事件的辨析

(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：

相互独立事件

互斥事件

判断方法

一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

两个事件不可能同时发生，即AB=SKIPIF10.

概率公式

若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.

(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：

事件

表示

概率（A，B互斥）

概率（A，B相互独立）

A，B中至少有一个发生

P(A∪B)

P(A)+P(B)

1SKIPIF10P(SKIPIF10)P(SKIPIF10)或

P(A)+P(B)SKIPIF10P(AB)

A，B都发生

P(AB)

0

P(A)P(B)

A，B都不发生

P(SKIPIF10SKIPIF10)

1SKIPIF10[P(A)+P(B)]

P(SKIPIF10)P(SKIPIF10)

A，B恰有一个发生

P(ASKIPIF10∪SKIPIF10B)

P(A)+P(B)

P(A)P(SKIPIF10)+P(SKIPIF10)P(B)

A，B中至多有一个发生

P(SKIPIF10SKIPIF10∪ASKIPIF10∪SKIPIF10B)

1

1SKIPIF10P(A)P(B)

【题型1独立性的判断】

【方法点拨】

(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.

(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独

立事件.

【例1】下列事件中A，B是相互独立事件的是（????）

A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，B=“第二次为反面”

B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”

D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”

【变式1-1】袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次