直线方程与圆的方程复习讲义 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

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直线方程

直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

倾斜角α的范围为0°≤α180°.

从几何图形上看

直线

情形

α的

大小

0°

0°α90°

90°

90°α180°

k的

大小

0

k＝tan_α

不存在

k＝tan_α＝

－tan(180°－α)

k的

范围

0

k0

不存在

k0

过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

两条直线的位置关系

直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：

位置关系

l1，l2满足的条件

l3，l4满足的条件

平行

k1＝k2且b1≠b2

A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0

垂直

k1·k2＝－1

A1A2＋B1B2＝0

相交

k1≠k2

A1B2－A2B1≠0

三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

②结论：P1P2＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP＝eq\r(x2＋y2).

(2)点到直线的距离

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

点关于直线的对称问题

如：设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－4,m－2)＝－1，,\f(n＋4,2)＝\f(m＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝3，))

直线关于直线的对称问题

两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()

A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0

C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0

方法：

第一步：先判断已知的两条直线是否平行，若平行则所求的直线也是跟已知直线平行。设所求直线方程，利用两平行线之间的距离公式求出答案。

第二步，若已知的两条直线不平行，则所求直线上有一点必是已知的两条直线的交点，先求已知的两条直线的交点，再利用点关于直线的对称点求法，在l1上任选一点，求该点关于l2对称的点的坐标，这个点在所求直线上。

圆的定义和圆的方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆

方程

标准

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)

圆心C(a，b)

半径为r

一般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F0)

圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)

点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)MCr?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2?M在圆外；

(2)MC＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；

(3)MCr?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2?M在圆内．

已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()

A．－6keq\f(1,2) B．k－6或keq\f(1,2)

C．k－6 D．keq\f(1,2)

32+12-2×3+4×1+2k+4＞0

（-2）2+42-4（2k+4)＞0

与圆有关的轨迹问题

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

（1）因为AC⊥BC，所以AC.BC=0

设C（x,y)则AC=（x+1,y)BC=(x-3,y)

所以（x+1)(x-3)+y2=0则点C的轨迹方程x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

（2）设M(x，y)，C(x0，y0)，

因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，

所以由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，

所以