人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步课时讲练5.1《导数的概念》(教师版).doc

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§5.1导数的概念及其意义

第1课时变化率问题和导数的概念

学习目标

1.了解导数概念的实际背景.

2.会求函数在某一点附近的平均变化率.

3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．

知识点一瞬时速度

瞬时速度的定义

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).

知识点二函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

知识点三函数在某点处的导数

如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(×)

2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(×)

3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(√)

4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝

eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝eq\f(f?x?－f?x0?,x－x0).(√)

一、函数的平均变化率

例1(1)函数y＝eq\f(1,x)从x＝1到x＝2的平均变化率为()

A．－1B．－eq\f(1,2)C．－2D．2

答案B

解析平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2)－1,2－1)＝－eq\f(1,2).

(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq\f(Δy,Δx)的值为()

A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29

答案B

解析∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－0.11,0.1)＝－1.1.

(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，则三者的大小关系为__________________．

答案eq\x\to(v)1eq\x\to(v)2eq\x\to(v)3

解析由平均变化率的几何意义知：eq\x\to(v)1＝kOA，eq\x\to(v)2＝kAB，

eq\x\to(v)3＝kBC，由图象知：kOAkABkBC，即eq\x\to(v)1eq\x\to(v)2eq\x\to(v)3.

反思感悟求平均变化率的主要步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.

(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1).

跟踪训练1已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

解(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为eq\f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.

(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(2,0)＋5