2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题10 集合间的基本关系（教师版）.docxVIP

专题10集合间的基本关系

【知识点梳理】

知识点1：Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．

知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念

【知识点拨】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．

(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．

(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．

(4)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，则A?C；任何集合都不是它本身的真子集．

(5)若A?B，且A≠B，则AB．

知识点3：空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.

(2)规定：空集是任何集合的子集．

知识点4：集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A．

(2)对于集合A，B，C，

①若A?B，且B?C，则A?C；

②若A?B，B?C，则A?C．

(3)若A?B，A≠B，则AB．

【题型归纳目录】

题型1：求集合的子集、真子集

题型2：判断集合的子集、真子集个数

题型3：集合间关系的判断

题型4：由集合间的关系求参数问题

题型5：空集的概念及判断

题型6：空集的性质及应用

题型7：集合间基本关系的综合问题

【典例例题】

题型1：求集合的子集、真子集

例1．(2023·海南儋州·高一校考期中)写出集合的所有子集和它的真子集.

【解析】集合的所有子集为；

集合的所有真子集为.

例2．(2023·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中)已知集合，且；

(1)求实数；

(2)写出的所有真子集.

【解析】(1)因为，所以或，

当，即时，不满足集合元素的互异性；

当时，解得(不满足集合元素互异性舍去)或，

所以当时，，

综上实数.

(2)由(1)得，

所以的所有真子集为，，.

例3．(2023·山东日照·高一校考阶段练习)设，．

(1)写出集合A的所有子集；

(2)若B为非空集合，求a的值．

【解析】(1)由解得或，则，

故集合A的子集为：；

(2)B为非空集合，得或或，

由或代入可得，故a的值为3.

变式1．(2023·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)已知集合，且.

(1)求实数的取值的集合；

(2)写出(1)中集合的所有子集.

【解析】(1)因为，且，

所以或，解得或或，

当时，，集合中出现两个0，故舍去；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

∴实数的取值的集合

(2)因为，所以集合的子集有：

变式2．(2023·山东聊城·高一校考阶段练习)设集合，列出集合A的子集.

【解析】由化简可得，

所以A的子集为

题型2：判断集合的子集、真子集个数

例4．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)集合的真子集的个数是(????)

A．8 B．7 C．3 D．5

【答案】B

【解析】集合中有3个元素，所以集合的真子集个数为个.

故选：B

例5．(2023·全国·高一专题练习)集合，则的子集的个数为(????)

A．4 B．8 C．15 D．16

【答案】D

【解析】集合，,

，

故有个子集.

故选：D．

例6．(2023·贵州遵义·高一统考期末)已知集合且，则集合A的子集的个数为(????)

A．15 B．16 C．31 D．32

【答案】D

【解析】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为.

故选：D.

变式3．(2023·高一课时练习)设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为(????)

A．4 B．6 C．7 D．15

【答案】B

【解析】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.

故选：B

变式4．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)符合?的集合的个数为(????)

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】A

【解析】由?，设，?，故有个.

故选：A.

变式5．(2023·全国·高一专题练习)已知集合满足，那么这样的集合M的个数为(????)

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】因为，

所以集合可以为：，

共8个，

故选：C.

变式6．(2023·江西·高一校联考阶段练习)已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足?B?C的集合B的个数为(????)

A．32 B．31 C．30 D．5

【答案】C

【解析】因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且?B?C，

所以集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数，

有个，

所以集合B的个数为30.

故选：C.

变式7．(2023·河南洛阳·高一校考阶段练习)满足条件的集合的个数是(????)

A．1 B．2 C．3 D．4