2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题05 三角形（学生版）.docxVIP

专题05三角形

【知识点梳理】

知识点1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.2-1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

知识点2：几种特殊的三角形

结论一：等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.

结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.

【题型归纳目录】

题型一：三角形的“四心”

题型二：几种特殊的三角形

【典例例题】

题型一：三角形的“四心”

例1．(2023·浙江杭州·统考二模)如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．

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(1)如果．

①求证：平行四边形为菱形；

②若，求线段的长．

(2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值．

例2．(2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测)如图，在中，为对角线，，是的中线．

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(1)在图1中用无刻度的直尺画出的高；

(2)在图2中用无刻度的直尺画出的高

例3．(2023·四川成都·统考二模)在，，，点O是边的中点，将绕点O旋转得到(点A，B的对应点分别为，)，点不在直线上，连接．

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(1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形；

(2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，．求线段的长；

(3)在旋转过程中，点G为的重心，连接，当线段取得最小值时，求出此时的面积．

变式1．(2023·湖北十堰·统考三模)如图，已知，四边形中，，的平分线交于点，以为直径作半经过点，交于点．

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(1)求证：与半相切；

(2)若，求的长．

变式2．(2023·安徽滁州·统考二模)如图1，是的角平分线，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，在射线上取一点，使．

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(1)求证：；

(2)如图2，已知，．

①求的长；

②图中存在四个点，以它们为顶点能构成一个平行四边形，在图中画出这个平行四边形，并证明它是平行四边形．

变式3．(2023·浙江金华·统考二模)如图，，点E是延长线上一点，．

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(1)求证：．

(2)若平分，，求的度数．

变式4．(2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测)如图，在矩形中，对角线和相交于点O，点分别为、的中点．

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(1)求证：；

(2)如图2，连接和，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积3倍的三角形．

变式5．(2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考三模)[问题提出]某节数学课上，小致遇到这样一个问题：如图①，在中，均为的中线，与相交于点O．求的值．(此处无需求解)

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[方法探究]

(1)小致发现，过点A作的平行线交的延长线于点F(如图②)，可以得到，．则的值为______．

[方法应用]参考小致思考问题的方法，解决问题：

如图③，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且．

(2)求的值．

(3)若的面积为10，则四边形的面积为______．

变式6．(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，在中，点是中点，点是射线上的一点．连接并延长交于点．

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(1)若，则_________；

(2)求证：．

变式7．(2023·安徽合肥·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．

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(1)请画出向左平移6个单位长度后得到的；

(2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的面积．

变式8．(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．

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(1)在图中画出关于x轴对称的(点A、B、C的对应点分别为、、)；

(2)求的面积．

变式9．(2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测)【问题提出】

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(1)如图1，在中，，，为边上的高，则的长为______．

(2)如图2，在四边形中，，且，E，F分别是的中点，连接与相