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双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

1.双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2

2.双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。

例1.方程表示双曲线，则的取值范围是 （）

A． B． C． D．或

3.双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：

（2）焦点在y轴上的：

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

【例2】求虚轴长为12，离心率为双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M（0，12）双曲线标准方程。

练习。焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （）

A． B． C． D．

【例4】与双曲线有公共渐进线，且经过点

练习。求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．

解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。

4.双曲线的几何性质：

2对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

3顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝

e越大，双曲线的开口就越开阔。

5．若双曲线的渐近线方程为：

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

【例4】求与椭圆的双曲线的标准方程。

【例5】已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是

练习。求与双曲线的双曲线的标准方程。

【例6】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。

练习。已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是求双曲线的方程；

双曲线标准方程及几何性质习题

一选择

1．到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（）

A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线

2．方程表示双曲线，则的取值范围是 （）

A． B． C． D．或

3．双曲线的焦距是 （）

A．4 B． C．8 D．与有关

4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的

曲线xyoxy

x

y

o

x

y

o

x

y

o

x

y

o

5．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A． B． C． D．

6．若，双曲线与双曲线有 （）

A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D．相同的焦点

7．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）

A．28B．22 C．14 D．

8．双曲线方程为，那么k的取值范围是 （）

A．k＞5? B．2＜k＜5C．－2＜k＜2?D．－2＜k＜2或k

9．双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是? （）

A．x2－4y2=1???B．x2－4y2＝1 C．4x2－y2=－1???D．4x2－y2

10．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （）

A．1或5 B．6 C．7 D．9

11．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则双曲线的离心率e的最大值为 （）

A． B． C． D．

12．设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线(a0,b0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离（） A．B． C． D．

13．双曲线的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=则△PF1F2的面积为（）A．B．1 C．2 D．4

14．二次曲线，时，该曲线的离心率e的取值范围是 （）

A． B． C． D．

二．填空

15．直线与双曲线相交于两点，则=_____

16．设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应