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4.3对数
1.对数的定义
(1)若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化:.
2.几个重要的对数恒等式
,,.
3.常用对数与自然对数
常用对数:,即;自然对数:,即(其中…).
4.对数的运算性质
如果,那么
①加法:
②减法:
③数乘:
④
⑤
⑥换底公式:
一、对数
【典例1】将下列指数式化成对数式:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1);(2);(3).
【解析】解:(1)因为,所以有:.
(2)因为,所以有:.
(3)因为,所以有:.
【典例2】有以下四个结论:①;②;③若,则;④若,则,其中正确的是(????)
A.①②B.②④C.①③ D.③④
【答案】A
【解析】由对数定义可知,,①正确;,②正确;
对③,,错误;对④,,错误,故选:A.
【典例3】求下列各式中的的值
(1);(2)
【答案】(1);(2)
【解析】解:(1)由得,所以;
(2)由得,所以,.
【典例4】对数式中,实数的取值范围是()
A.B.C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,解得3a4或4a5,即a的取值范围是(3,4)∪(4,5),故选D.
【典例5】求式中的的值为.
【答案】
【解析】由,得,解得,故答案为:.
【典例6】,则___________.
【答案】
【解析】因,则,即,解得,所以.
故答案为:
1、将下列对数式化成指数式:
(1);
(2);
(3);
【答案】(1);(2);(3)
【解析】解:(1)因为,所以有:.
(2)因为,所以有:.
(3)因为,所以有:.
2、下列说法中错误的是()
A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数
【答案】B
【解析】由对数的概念知,指数式中,只有,且的指数式才可以化为对数式,因此零和负数没有对数,把以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,故选B.
3、求下列各式中的的值
(1);(2)
【答案】(1);(2)
【解析】解:(1)由可得;
(2)由可得,且,所以.
4、使有意义的实数a的取值范围是()
A.B.C. D.
【答案】C
【解析】由题意知,解得,所以实数a的取值范围是,故选C.
5、已知,那么=()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为,所以,则x=2,故选B.
6、求log5[log3(log2x)]=0式中的的值为.
【答案】8
【解析】由log5[log3(log2x)]=0,得log3(log2x)=1,所以log2x=3,故x=23,即x=8.
二、对数的运算性质
【典例1】若,则()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】.A
【解析】∵,∴,又,∴,故选:A.
【典例2】求值(????)
A.8 B.9 C.10 D.1
【答案】B
【解析】因为,,
所以,故选:B.
【典例3】下列式子变形正确的是()
A.B.C. D.
【答案】D
【解析】对于A,,故A不正确;对于B,,不一定等于,故B不正确;对于C,,只有,故C不正确;对于D,,故D正确,故选D.
【典例4】若,则___________.
【答案】
【解析】因为,所以,即,即,所以,故答案为:.
【典例5】计算下列各式的值:
(1)
(2)
【答案】(1)1;(2)20
【解析】解:(1);
(2).
【典例6】已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
【答案】eq\f(ab+3,ab+a+1)
【解析】解:∵log23=a,则eq\f(1,a)=log32,又∵log37=b,
∴log4256=eq\f(log356,log342)=eq\f(log37+3log32,log37+log32+1)=eq\f(ab+3,ab+a+1).
1、()
A. B.0 C.1 D.10
【答案】C
【解析】由,故选C.
2、()
A.8B.6C.-8 D.-6
【答案】C
【解析】,故选C.
3、下列计算中结果正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A:,故A正确;
对于B:,故B错误;
对于C:,故C错误;
对于D:,故D错误;故选:A
4、已知,则的值为(??
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