2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第15讲 抛物线（七大题型）（教师版）.docxVIP

第15讲抛物线

【题型归纳目录】

题型一：抛物线的定义

题型二：求抛物线的标准方程

题型三：抛物线的综合问题

题型四：轨迹方程

题型五：抛物线的几何性质

题型六：抛物线中的范围与最值问题

题型七：焦半径问题

【知识点梳理】

知识点一：抛物线的定义

定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

知识点诠释:

(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值

(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.

(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.

知识点二：抛物线的标准方程

抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

，，，。

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向(向下)

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。

知识点三：抛物线的简单几何性质：

抛物线标准方程的几何性质

范围：，，

抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。

对称性：关于x轴对称

抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点

抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。

抛物线标准方程几何性质的对比

图形

标准方程

y2=2px(p＞0)

y2=－2px(p＞0)

x2=2py(p＞0)

x2=－2py(p＞0)

顶点

O(0，0)

范围

x≥0，

x≤0，

y≥0，

y≤0，

对称轴

x轴

y轴

焦点

离心率

e=1

准线方程

焦半径

知识点诠释：

(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；

(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.

【典例例题】

题型一：抛物线的定义

例1．(2023·高二课时练习)若P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()

A．相交 B．相离

C．相切 D．不确定

【答案】C

【解析】如图所示，设的中点，作轴、轴分别交轴于点，

由抛物线的定义，可得，

又由梯形的中位线的性质，可得，

所以以为直径的圆与轴相切.

故选：C.

??

例2．(2023·广东深圳·高二统考期末)若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，

抛物线的准线为.

所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦点的距离为.

故选：C

例3．(2023·浙江台州·高二期末)已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则(????)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】依题意知，焦点，

由定义知：，

所以，所以．

故选：C.

例4．(2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习)抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为(????)

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则，

所以点P到抛物线焦点的距离为.

故选：B

例5．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习)已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则(????)

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】D

【解