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《零点的存在性及其近似值的求法》教学设计

教学设计

一、问题导入

炮兵在训练时，有这样一种射击方法：当第一发炮弹射得太近，而第二发炮弹射得太远时就取“夹叉”作为目标，对准前两次平均值发射下一发炮弹，再看它落得过近还是过远.由于“夹叉”的结果，弹着点与目标的距离变小，这种核准一直持续到炮弹击中目标为止.这种射击方法与随意射击相比，显然击中目标的可能性要大.

提示：这个问题就是我们本节课要学习的用二分法求函数零点的近似值的运用.

二、新知探究

1.学生自学教材第115页例6上方的内容.

教师指派一名学生读一读例6上方的文字，并书写函数零点存在定理：

如果函数在区间上的图像是连续不断的，并且（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间中至少有一个零点，即，.

一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数的图像不是连续不断的.

教师指出：对于任意的一个函数，即使它的图像是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号.如函数有零点，但显然当图像通过零点时函数值没有变号.

2.阅读教材第115页例6.

求证：函数至少有一个零点.

证明：因为，，

所以，

因此，，即结论成立.

想一想：例6中零点的精确值能求出吗？

提示：求出例6中零点的精确值并不容易.

想一想：能不能想办法得到这个零点的近似值呢？

3.教师指导学生学习二分法的概念并总结用二分法求零点的近似值的步骤.

让学生阅读教材第116页“尝试与发现”.

尝试与发现

如果在区间中任取一个数作为的近似值，那么误差小于多少？如果取区间的中点作为的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？

想一想：如何求中满足条件的可作为的近似值的数？

教师总结求零点近似值的方法，给出二分法的概念.

对于图像在区间上连续不断，且满足的函数，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.

想一想：用二分法求函数零点近似值时，函数应满足哪些条件？

提示：前提条件：

（1）在区间上的图像连续不断.

（2）在区间端点的函数值.

议一议：所有函数的零点都可以用二分法求出吗？

提示：不是，例如函数的零点-1就无法用二分法求出.

教师同学生一起归纳总结求函数零点的近似值的步骤.

在函数零点存在定理的条件满足时（即在区间上的图像是连续不断的，且），给定近似的精度，用二分法求零点的近似值，使得的一般步骤如下：

第一步检查是否成立，如果成立，取，计算结束；如果不成立，转到第二步.

第二步计算区间的中点对应的函数值，若，取，计算结束；若，转到第三步.

第三步若，将的值赋给（用表示，下同），回到第一步；否则必有，将的值赋给，回到第一步.

这些步骤可用如图所示的框图表示.

师：准确理解二分法的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

师：二分法与判定函数零点的存在性密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续不断且在该零点左右函数值异号才能应用二分法求函数零点.

想一想：用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？

提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同.

4.教师指导学生学习例7.

已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数的取值范围.

解：因为函数的图像是开口朝上的抛物线，因此满足条件的函数图像示意图如图（1）（2）所示.

不管哪种情况，都可以归结为且.因此且，解得或.

5.教师指导学生阅读教材第118页“拓展阅读”.

教师指出：二分法在有哪些信誉好的足球投注网站中有着非常重要的应用，计算机的很多有哪些信誉好的足球投注网站程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学课后去查一查有关书籍和网站吧！

三、课堂练习

教材第119页习题3-2A第4，8题.

学生先独立完成练习，然后讨论交流，教师讲解评价.

四、课堂小结

1.对于图像在区间上连续不断，且满足的函数，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.

2.主要题型：求函数的零点所在的区间、利用函数的零点求参数的值或范围、用二分法求零点的近似解.

五、布置作业

1.教材第119页习题3-2A第7题.

2.教材第120页习题3-2B第4，5题.

六、课后反思

1.用二分法求零点的近似值的步骤.

2.二分法在实际生活中的应用.

板书设计

第2课时零点的存在性及其近似值的求法

零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的，并且（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间中至少有一个零点，即，.

例6求证：函数至少有一个零点.

在函数零点存在定理的条件满足时（即在区间上的