《医学高等数学》课件 第七章 微分方程.pptxVIP

第七章微分方程医学高等数学

第一节微分方程的基本概念第四节二阶微分方程第二节一阶微分方程第三节一阶线性微分方程第五节医学中的数学模型本章内容

案例导入：英国学者马尔萨斯认为人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻人口数为x(t)，则人口增长速度与人口总量x(t)成正比，从而建立了马尔萨斯模型这是一个含有一阶导数的模型，求人口总数与时间的函数关系x(t)。第一节微分方程的概念这个问题是给出了函数与其变化率之间的关系，怎样求解该函数呢？学习了本节内容就能解决这个问题。

例1一曲线通过点(1,2)且在该曲线上任何一点M(x,y)处的切线斜率为2x，求曲线的方程。解设所求曲线方程为y=f(x)，根据导数的几何意义得则dy=2xdx,对方程两端积分，得，即因为曲线过点(1,2)，代入y=x2+C得2=12+C所以C=1。即所求曲线方程为y=x2+1。

例2质量为m的物体从空中自由下落（不计空气阻力），试求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。解由题意知，未知函数s(t)应满足方程：两边同时积分得再积分一次得：其中C1，C2是两个任意常数。

定义1把含有未知函数的导数（或微分）的方程叫作微分方程。如前面例子中的方程都是微分方程。未知函数是一元函数的，叫作常微分方程；未知函数是多元函数的，叫作偏微分方程。本章重点讨论常微分方程，以后简称微分方程或方程。一、微分方程微分方程是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式。例如，等都是微分方程．

定义2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶。二、微分方程的阶一阶微分方程二阶微分方程

定义3如果把某个函数以及它的导数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数叫作微分方程的解。或者说，满足微分方程的函数叫作微分方程的解。三、微分方程的解这两个解中包含任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，我们把这样的解叫作微分方程的通解。根据具体的需要，有时需确定通解中的任意常数，设微分方程的未知函数为y＝y(x)。例如，是的解，是的解。

如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：当x＝x0时，y＝y0，或写成，式中x0，y0都是给定的值。如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：当x＝x0时，y＝y0，，或写成式中x0，y0，都是给定的值。

确定了通解中任意常数以后的解叫微分方程的特解，如y=x2+1是微分方程的特解。如果微分方程的解中含有任意常数，称为通解，由给定条件求出常数值后，所得的解称为特解。

四、解微分方程寻求微分方程解的过程，称为解微分方程。案例回应由,得所以，将x(t0)=x0代入上式得，故人口总数与时间的函数关系为

案例导入：用某药进行静脉注射，其血药浓度下降是一级速率过程，即第一次注射后，经一小时浓度降至初始浓度的，如果要使血药浓度不低于初始浓度的一半，问：经过多长时间要进行第二次注射？这个问题就是怎样解一阶微分方程的问题，不同的微分方程求解方法不同，本节将介绍一阶微分方程的两种解法。第二节一阶微分方程

一阶微分方程是含x，y及y′的方程，它的一般形式为F(x，y，y′)=0，最简单的一阶微分方程为，可改写成dy=f(x)dx，将两边积分得出通解：若微分方程满足条件，并将它代入方程的通解，确定出任意常数C，即可得出方程的特解。下面介绍两种类型的一阶微分方程的解法。

一、可分离变量的微分方程在一阶微分方程中，如果