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最速下降法和共轭阶梯法

一、实验目的

对矩阵A=[210;120;003];b=[2034-26];对方程A*X=b,分别

用最速下降法和共轭阶梯法,求x的值,并判断是否收敛和比较两种

算法的优势

二、实验原理

最速下降法

基于这样的观察:如果实值函数在点处可微且有定义,那

么函数在点沿着梯度相反的方向下降最快。

因而,如果

对于γ0为一个够小数值时成立,那么。

考虑到这一点,我们可以从函数F的局部极小值的初始估计出

发,并考虑如下序列使得

因此可得到

如果顺利的话序列收敛到期望的极值。注意每次迭代步长γ

可以改变。

三、上侧的图片示例了这一过程,这里假设F定义在平面上,并且

函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线(水平集),即函数F为

常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。(一点

处的梯度方向与通过该点的等高线垂直)。沿着梯度下降方向,将最

终到达碗底,即函数F值最小的点。

共轭梯度法

是求解特定线性系统的数值解的方法,其中那些矩阵为对称和正定。

共轭梯度法是一个迭代方法,所以它适用于稀疏矩阵系统,因为这些

系统对于象乔莱斯基分解这样的直接方法太大了。这种系统在数值求

解偏微分方程时相当常见。

共轭梯度法也可以用于求解无约束的最优化问题。

双共轭梯度法提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。

设我们要求解下列线性系统

Ax=b,,

TT

其中n-×-n矩阵A是对称的(也即,A=A),正定的(也即,xAx

n

0对于所有非0向量x属于R),并且是实系数的。

将系统的唯一解记作x。

*

四、实验内容

实验步骤:

1、根据最速下降法和共轭梯度法的原理编程

2、设置迭代次数n

3、取得er的不同,研究对收敛的影响

4、设置tx把每步的x的用plot()函数画出图像,研究对收敛的影响

输出结果

最速下降法

(1)取er=10^(-6)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=12

收敛性

可以看出收敛比较好

(2)取er=10^(-13)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=21

收敛性

(3)取er=10^(-20)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=27

收敛性

共轭梯度法

(1)取er=10^(-6)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=3

收敛性

(2)取er=10^(-20)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=4

收敛性

(3)取er=10^(-30)时,算出x的结果及迭代次数n

x=2.000016.0000-8.6667

n=4

收敛性

数据分析(比较两种算法的优势)

根据实验结果可以知道,在相同的精度下,最速下降法的迭代

次数要比共轭梯度法的迭代次数要多,而但是它们算出来的结果是一

样的,另外从收敛性行可以看出两者都是线性收敛,但总体来说共轭

梯度法要比最深下降法要好。

四、实验心得

本次实验在掌握好原理的同时,我应

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