第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（讲义）（解析版）_1.docx

第03讲三角函数的图象与性质

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性．

（2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响．

（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．

2023年甲卷第12题，5分

2023年天津卷第5题，5分

2023年I卷第15题，5分

本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．

知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）

函数

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

递减区间

无

对称中心

对称轴方程

无

注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；

正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

知识点三：与的图像与性质

（1）最小正周期：．

（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．

（3）最值

假设．

①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心．

假设．

①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．

（5）单调性．

假设．

①对于，

②对于，

（6）平移与伸缩

由函数的图像变换为函数的图像的步骤；

方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．

方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．

【解题方法总结】

关于三角函数对称的几个重要结论；

（1）函数的对称轴为，对称中心为；

（2）函数的对称轴为，对称中心为；

（3）函数函数无对称轴，对称中心为；

（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．

（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为

题型一：五点作图法

例1．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．

(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；

(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

??

【解析】（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．

或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．

（2）因为列表：

??例2．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；

(2)求，的单调递增区间；

(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.

【解析】（1）因为，当时，，

列表如下：

0

1

1

2

0

0

1

作图如下：

（2）因为，令，解得，

令，解得，

所以的递增区间为

（3），，

又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．

例3．（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数.

(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）

(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.

【解析】（1），

按五个关键点列表：

0

0

1

0

0

0

3

0

1

0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：

（2）因为，

所以的零点个数等价于与图象交点的个数，

设，，则

当，即时，有2个零点；

当，即时，有1个零点；

当，即时，有0个零点.

【解题方法总结】

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

题型二：函数的奇偶性

例4．（2023·全国·高三专题练习）函数，则（????）

A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数

C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函