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§3相似矩阵
在第二节，我们提出了对所给的一个方阵
将其对角化的问题，现在我们对此进行讨论.
定义7（P121）设A,B为n阶矩阵，若有可逆
阵使P
P－1AP=B
则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.
对A进行运算P－1AP称为对A进行相似变换，
可逆矩阵P称为将A变成B的相似变换矩阵.
矩阵之间的相似关系是一个等价关系.
定理3（P122）若n阶矩阵A与B相似，则A与B
的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同.
条件：P－1AP=B结论：|A－E|=|B－E|
证：∵A与B相似，
∴存在可逆阵P，使P－1AP=B
−1−1−1
|B−E|PAP−E|PAP−P(E)P|
−1−1|A−E|
|P(A−E)P||P||A−E||P|
推论（P122）若n阶矩阵A与对角阵
1
2相似，则,,...,即为A
12n
n
的n个特征值.
我们感的是和A相似的对角阵.下面我
们讨论：对一个n阶方阵A寻求相似变换阵P，
使
P－1AP
其中为对角阵，即方阵的对角化问题
−1APP
PAP
1
(p)()
Ap1np1pn
n
App(j1,2,,n)
jjj
由此可见，pj(j=1,2,...,n)就是A的特征向量，即
对角化中的P就是A的特征向量按列构成.于是
若A可对角化，即P可逆，p,p,...,p线性无关，
12n
即A有n个线性无关的特征向量.
反之，若A有n个线性无关的特征向量p,p,...,
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