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§3相似矩阵在第二节，我们提出了对所给的一个方阵将其对角化的问题，现在我们对此进行讨论.定义7（P121）设A,B为n阶矩阵，若有可逆阵使PP－1AP=B则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进行运算P－1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为将A变成B的相似变换矩阵.矩阵之间的相似关系是一个等价关系.
定理3（P122）若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同.证：∵A与B相似，∴存在可逆阵P，使P－1AP=B结论：|A－lE|=|B－lE|条件：P－1AP=B
推论（P122）我们感兴趣的是和A相似的对角阵.下面我们讨论：对一个n阶方阵A寻求相似变换阵P，使相似，则l1,l2,...,ln即为A其中L为对角阵，即方阵的对角化问题.P－1AP=L若n阶矩阵A与对角阵的n个特征值.
由此可见，pj(j=1,2,...,n)就是A的特征向量，即对角化中的P就是A的特征向量按列构成.于是
由上面的讨论，有下面的定理.若A可对角化，即P可逆，p1,p2,...,pn线性无关，即A有n个线性无关的特征向量.反之，若A有n个线性无关的特征向量p1,p2,...,pn，相应的特征值为l1,l2,...,ln，满足
定理4（P123）n阶矩阵A与对角矩阵相似（A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.A是否一定有n个线性无关的特征向量呢？也就是A是否能对角化呢？联系上节定理2（P123），我们有推论（P123）如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.注：n阶矩阵A的n个特征值互不相等是A与对角阵相似的充分但不必要的条件.
关于方阵A的对角化问题的结论：（1）当A的特征值有重根时，若每一个特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重根次数，则A可对角化（上节例2）；（2）若A没有n个线性无关的特征向量，即找不出使P－1AP=L的P，则A不能对角化（上节例1）.注：A能否对角化，问题出在A的重根上.
例1.问A可否对角化？若可以，求出相似变换矩阵P及对角阵L，其中解：先化出零元素
l1=l2=3时p1,p2线性无关.×4
l3=12时
3为二重根，对应有两个线性无关的特征向量，则A可对角化.取注意：特征向量p1,p2,...,pn的次序要与相应的特征值l1,l2,...,ln对应.
关于相似矩阵有如下结论：（1）|A|=|B|.（2）A、B的特征值相同.（3）R(A)=R(B).（4）A,B的迹相同：a11+...+ann=b11+...+bnn.（5）A与B等价.（6）Ak与Bk相似.（7）f(A)与f(B)相似，其中f(x)为任意多项式.
例2（P135，20）.设A与?相似，求x,y.其中解：(2).2+x=y+1x=4，y=1作业P134－137：17.
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