第26讲 复数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_1.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第26讲复数（精讲）

题型目录一览

①复数的有关概念

②复数的四则运算

③复数的模长

④复数相等和共轭复数

⑤复数的几何意义

⑥复数的三角形式

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、复数的概念

=1\*GB3①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足

（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；

（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；

（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）

=3\*GB3③复数的模：复数的模，其计算公式

二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数．

（3）．

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．

2、复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．

三、复数的三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．

（2）辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．

（3）三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（4）复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

．

（5）复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．

【常用结论】

①当时，．

②．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一复数的有关概念

策略方法解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．

(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq\x\to(z)；③z∈R?z2≥0．

(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数?z2＜0．

【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a等于（????）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，根据纯虚数的概念列式计算，即得答案.

【详解】由题意得，

因为它为纯虚数，所以，解得，

故选：D.

【题型训练】

一、单选题

1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数的虚部为（????）

A． B． C．2 D．16

【答案】C

【分析】利用虚数单位的性质可求，故可求其虚部.

【详解】因为，故，故的虚部为2，

故选：C.

2．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数满足，则的虚部是（????）

A．2 B．2i C．1 D．i

【答案】C

【分析】根据复数的运算化简，再根据虚部的定义求解.

【详解】因为，所以,

所以的虚部是1.

故选:C.

3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足，则z的实部是（????）

A．－1 B．1 C．－3 D．3

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算可得，即可知z的实部是.

【详解】由可得，

所以z的实部是．

故选：C

4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数，则复数的实部和虚部分别是（????）

A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i

【答案】C

【分析】应用复数乘法运算化简复数，即可确定实部、虚部.

【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2.

故选：C

5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（????）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.

【详解】，

由已知得，解得，

故选：D

6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则的值为（????）

A． B．12 C． D．3

【答案】C

【分析】根据复数的