《等边三角形的性质》进阶练习(二).pdfVIP

《等边三角形的性质》进阶练习

一、选择题

.如图所示，正方形的面积为，△是等边三角形，点在正方形内，点是对角线上

一动点，若的和最小，则这个最小值为（）..

.

是边长为的正方形，△是等边三角形，则△的面积为（）

..

..

.如图，在正方形的内部作等边△，则∠度数为（）

°°

°°

二、填空题

.若等边三角形的边长为，则这个三角形的高线长是.

.在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若三角形的边长为，，则的长

为．

.如图，三角形的三条边的长都是个单位，现将三角形沿射线方向向右平移个

单位后，得到三角形，则四边形的周长为个单位。

三、计算题

.如图，在等边三角形中，⊥于，延长到，使，．

（）求的长；

（）判断△的形状，并说明理由．

参考答案

或

.解：（）∵△为等边三角形，

∴，

∵⊥，

∴，

∵，

∴；

（）△为等腰三角形．理由如下：

∵△为等边三角形，

∴∠∠°，

∵⊥，

∴∠∠°，

∵，

∴∠∠，

而∠∠∠°，

∴∠°，

∴∠∠，

∴△为等腰三角形．

.【分析】

此题主要考查轴对称最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．由于点与关于对

称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边△的边，，由正方形的面积为，

可求出的长，从而得出结果．

【解答】

解：设与交于点（′），连接，

∵点与关于对称，

∴′′，

∴′′′′最小．

即在与的交点上时，最小，为的长度；

∵正方形的面积为，

∴．

又∵△是等边三角形，

∴．

故所求最小值为．

故选．

.解：△的面积等于△和△面积和减去△的面积

因此本题求解△、△面积和△的面积即可，

，

△

，

△

××，

△

∴．

△

故选．

根据三角形面积计算公式，找到△的面积等于△和△面积和减去△的面积的等量关系，

并进行求解．

本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为个全等的等腰直角三

角形．解决本题的关键是找到△的面积等于△和△面积和减去△的面积的等量关系．

.【分析】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；

熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由正方形

和等边三角形的性质得出，∠°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠

的度数.

【解答】

解：∵四边形是正方形，

∴∠°，，

∵△是等边三角形，

∴∠°，，

∴，∠°°°，

∴∠（°°）°；

故选．

.【分析】

本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股

定理计算的值是解题的关键．根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直

角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可解题．

【解答】

解：等边三角形三线合一，

∴为的中点，⊥，

∴，

在△中，，，

∴，

∴这个三角形的高线长是，

故答案为．

.

解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时，如图所示，

过作⊥，垂足为点，可得∠°，

∵，∴为的中点，即，

∵△为等边三角形，∴∠°，

∴∠°，

∵，

∴，

∴，

则；

当在线段的延长线上，在线段的延长线上时，如图所示，

过作⊥，垂足为点，可得∠°，

∵，∴为的中点，即，

∵△为等边三角形，∴∠∠°，

∴∠°，

∵，

∴，

∴，

则，

综上，的值为或．

故答案为：或当在线段的延长线上，在线段的延长线上时，如图所示，过作⊥，垂足为

点，由，利用三线合一得到为的中