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学必求其心得,业必贵于专精
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课后导练
基础达标
1.[(2a+4b)—(4a—4b)]等于()
A.2a—bB。2b—aC。b—aD。a—
解析:原式=(a+2b—4a+4b)=(6b—3a)=2b—a。
答案:B
2。下列各组中的向量a,b共线的有()
①a=2e,b=-2e②a=e1—e2,b=—2e1+2e2③a=4e1-e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1—2e2
A。①②③B.②③④
C。①③④D。①②③④
解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立。
答案:A
3.若O是△ABC内一点,=0,则O是△ABC的()
A.垂心B.重心C。内心D.外心
解析:∵=0,
∴=—(+)。
如图,+==—,
∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.
∴O为三角形三条中线的交点。
∴O是△ABC的重心.
答案:B
4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1—e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…()
A。0B。-1C。-2
解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2),
即。
答案:D
5。设=(a+5b),=-2a+8b,=3(a—b),则共线的三点是()
A。A、B、CB.B、C、DC。A、B、DD.A、C、D
解析:∵+==(—2a+8b)+3(a—b)=a+5b,
∴=,又与有公共点B,
∴A、B、D三点共线。
答案:C
6.在平行四边形ABCD中,++等于()
A。B。C.D。
解析:++=++=-==。可知D选项正确.
答案:D
7。设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()
A.a与—λa的方向相反
B。|-λa|≥|a|
C.a与λ2a
D。|—λa|=|λ|a
解析:如果λ0,则a与-λa的方向相反,如果λ0,则a与-λa的方向相同,A错;
如果|λ|1,则|-λa||a|,B错;
|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错。
答案:C
8.已知向量a、b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8—y)b=4xb+3(y+9)a,则x=____,y=______.
解析:∵a与b不共线,根据向量相等,得,解得
答案:3-4
综合运用
9。(2005南京第二十七中)设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a—2b,=-6a—4b,那么()
A.与同向,且||〉||
B.AD与同向,且||〈||
C。与反向,且||||
D.∥
解析:由=(2a+3b)+(-8a-2b
则=—6a+b.
又有=+=-12a—3b=(—8a-2b),
即=。
∴与同向,||||.
故选A。
答案:A
10.(2006武汉一中)如图所示,已知=,用,表示,则等于()
A。—+B。+
C.—D.-—
解析:由=+
=+=(-+)+
=+.故选A。
答案:A
11。已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b—8c,对角线AC,BD的中点为E,F,则向量=___________。
解析:在四边形ABCD中取AD的中点M,连结ME,MF。
所以ME为△ACD的中位线,MF为△DAB的中位线,
故=—=-=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b—5c。
答案:3a+3b
拓展探究
12。已知△ABC中,=a,=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈[0,+∞)。试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.
思路分析:按向量的运算法则作出图形分析求解。
解:以,为邻边作ABDC,
设对角线,交于点E,
则==(a+b)。
由=+λa+λb得
-==2λ(a+b)=2λ·,λ∈[0,+∞).
∴与共线.
由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心。
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