数学课后导练:向量数乘.docxVIP

数学课后导练:向量数乘.docx

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学必求其心得,业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.[(2a+4b)—(4a—4b)]等于()

A.2a—bB。2b—aC。b—aD。a—

解析:原式=(a+2b—4a+4b)=(6b—3a)=2b—a。

答案:B

2。下列各组中的向量a,b共线的有()

①a=2e,b=-2e②a=e1—e2,b=—2e1+2e2③a=4e1-e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1—2e2

A。①②③B.②③④

C。①③④D。①②③④

解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立。

答案:A

3.若O是△ABC内一点,=0,则O是△ABC的()

A.垂心B.重心C。内心D.外心

解析:∵=0,

∴=—(+)。

如图,+==—,

∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.

∴O为三角形三条中线的交点。

∴O是△ABC的重心.

答案:B

4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1—e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…()

A。0B。-1C。-2

解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2),

即。

答案:D

5。设=(a+5b),=-2a+8b,=3(a—b),则共线的三点是()

A。A、B、CB.B、C、DC。A、B、DD.A、C、D

解析:∵+==(—2a+8b)+3(a—b)=a+5b,

∴=,又与有公共点B,

∴A、B、D三点共线。

答案:C

6.在平行四边形ABCD中,++等于()

A。B。C.D。

解析:++=++=-==。可知D选项正确.

答案:D

7。设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()

A.a与—λa的方向相反

B。|-λa|≥|a|

C.a与λ2a

D。|—λa|=|λ|a

解析:如果λ0,则a与-λa的方向相反,如果λ0,则a与-λa的方向相同,A错;

如果|λ|1,则|-λa||a|,B错;

|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错。

答案:C

8.已知向量a、b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8—y)b=4xb+3(y+9)a,则x=____,y=______.

解析:∵a与b不共线,根据向量相等,得,解得

答案:3-4

综合运用

9。(2005南京第二十七中)设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a—2b,=-6a—4b,那么()

A.与同向,且||〉||

B.AD与同向,且||〈||

C。与反向,且||||

D.∥

解析:由=(2a+3b)+(-8a-2b

则=—6a+b.

又有=+=-12a—3b=(—8a-2b),

即=。

∴与同向,||||.

故选A。

答案:A

10.(2006武汉一中)如图所示,已知=,用,表示,则等于()

A。—+B。+

C.—D.-—

解析:由=+

=+=(-+)+

=+.故选A。

答案:A

11。已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b—8c,对角线AC,BD的中点为E,F,则向量=___________。

解析:在四边形ABCD中取AD的中点M,连结ME,MF。

所以ME为△ACD的中位线,MF为△DAB的中位线,

故=—=-=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b—5c。

答案:3a+3b

拓展探究

12。已知△ABC中,=a,=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈[0,+∞)。试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.

思路分析:按向量的运算法则作出图形分析求解。

解:以,为邻边作ABDC,

设对角线,交于点E,

则==(a+b)。

由=+λa+λb得

-==2λ(a+b)=2λ·,λ∈[0,+∞).

∴与共线.

由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心。

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