一次函数的规律探究之图形面积模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）.docx

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一次函数的规律探究之图形面积模型

模型示例：如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，求（用含n的代数式表示，n为正整数）．

第①步判断直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形：

设直线与x轴交于H，当时，，当时，，

∴，

∴，

∴直线与x轴的夹角为，

∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形；

第②步求得第一，第二，第三，…，第n个正方形的边长：

∵，即第一个正方形的边长为2，

∴，

∴，即第二个正方形的边长4，

同理可得，即第三个正方形的边长为8，

…，

∴可知第n个正方形的边长为，

第③步求出…，找到规律，进而求解：

∴，

，

，

…，

∴．

适用范围：已知一次函数的图象和相关图形，求有关规律性图形的面积．

先求前面几个图形的面积，找到规律再求解

如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形，正方形，正方形点在直线，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，…则的值为．

设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，求出…，再根据规律即可进行求解．

解：设直线与x轴交于H，交于点，交于点，交于点，

当时，，当时，，

∴，

∴，

∴直线与x轴的夹角为45°，

∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，

∵，即第一个正方形的边长为2，

∴，

∴，即第二个正方形的边长4，

同理可得，即第三个正方形的边长为8，

…，

∴可知第n个正方形的边长为，

，

，

同理得：，

，

，

，

∴，

，

，

…，

，

，

故答案为：．

1．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（????）

A． B． C． D．

2．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（????）

A． B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是（用含n的式子表示，n是正整数）

4．如图．已知直线，分别过点，，…，作x轴的垂线交直线于点，将，四边形，四边形，…，四边形的面积依次设为，则的值为．

??

5．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线分别交于点；函数的图象与直线分别交于点，如果的面积记作，的面积记作，的面积记作…的面积记作，那么．

6．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为．

??

7．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为．

8．如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则，则．

9．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点的坐标为，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为，，，…，，则的值为．

10．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则．

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参考答案：

1．C

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．

【详解】解：当时，，

根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，

第个等腰直角三角形的面积为，

当时，，

第个等腰直角三角形的直角边长为，

第个等腰直角三角形的面积为，

当时，，

第个等腰直角三角形的直角边长为，

第个等腰直角三角形的面积为，

依此规律，