人教A版高中数学选择性必修第二册素养单元课后习题 第四章 数列 培优课1 求数列的通项.docVIP

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学习单元4通项及求和

培优课?求数列的通项

A级必备知识基础练

1.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是()

A.数列{Sn+n}为等比数列

B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1

C.数列{an+1}为等比数列

D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列

2.数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,则{an}的通项公式为.?

3.已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为.?

4.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为.?

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=.?

6.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.

(1)求a1的值;

(2)若bn=an-1,试求数列{bn}的通项公式.

7.已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+S

8.已知数列{an}满足a1=-2,an+1=2an+4,求数列{an}的通项公式.

B级关键能力提升练

9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn=log21an+1,则数列{b

A.12n B.n-1 C.n

10.如图所示,有标号为1,2,3的三根柱子,在1号柱子上套有n个金属圆片,从下到上圆片依次减小.按下列规则,把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子,要求:①每次只能移动一个金属圆片;②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面.

若n=3,则至少需要移动次;若将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子记作至少需要移动an次,则an,an-1(n≥2,n∈N*)的递推关系是.?

11.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式a

12.已知某企业投资1000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行广告投资才能保持原有的利润增长率.经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过4000万元?(lg2≈0.30)

培优课?求数列的通项

1.AD因为Sn+1=2Sn+n-1,所以Sn+1+n+1Sn+n=2Sn+2nSn+n=2.又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2

2.an=2n因为a1=2,an+1-an=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1,n≥2,以上各式相加,得an-a1=2+22+23+…+2n-1,故an=2(1-2n-1)1

3.an=3(2n-1)(2n+1)由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得anan-1=2n-32n+1

4.an=(3n-2)·2n∵an+1=2an+3·2n+1,∴an+12n+1=an2n+3,即an+12n+1-

5.47∵an+1=Sn+1(n∈N*),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),

∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2,Sn+1=3×2n-1.则S5+1=3×24,解得S5=47.

6.解(1)因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.

(2)因为Sn=2an+n-4,

所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,则bn=2n.

7.解∵Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2),∴(

又Sn0,∴S

又S1=1,∴数列{Sn}是首项为1,公差为1的等差数列,∴Sn=1+(n-1)×1=n,故Sn

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.

当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n-1.

8.解∵a1=-2,∴a1+4=2.

∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4),

∴an

∴数列{an+