第11讲 函数的奇偶性（解析版）_1.docxVIP

函数的奇偶性

【知识梳理】

奇偶性的定义

设函数的定义域为，

如果对于任意的，都有，并且，

那么称函数是偶函数；

如果对于任意的，都有，并且，

那么称函数是奇函数；

注：定义域关于原点对称.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.

若=-，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且=-，则既是奇函数，又是偶函数

4.判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

（2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

（3）性质法：

两个奇函数的和仍为奇函数；

两个偶函数的和仍为偶函数；

两个奇函数的积是偶函数；

两个偶函数的积是偶函数；

一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.

在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.

分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，

然后判断与的关系.

首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

【典型例题}

考点一：判断函数奇偶性的方法

1.判断函数奇偶性

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1；

f(x)＝；（5）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3，x0,－x2＋2x－3，x0，))

考点二：奇偶性的性质

2.已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据偶函数的图像性质，结合充分，必要条件的定义进行判断

【详解】偶函数的图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若是偶函数，则是偶函数，若是奇函数，也是偶函数，所以“是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件

故选：A

3.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（????）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.

【详解】令，则,且，

既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；

令，则,且，

是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；

故选：C

考点三：利用奇偶性求参数

4．若为奇函数，则__________．

【答案】

【分析】由奇函数的性质可得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.

【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，解得，

此时，则，

即函数为奇函数，合乎题意.

因此，.

故答案为：.

5.（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.

（2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。

（3）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）

A．1 B．0 C．－1 D．±1

【答案】（1）1（2）1或（3）B

【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.

（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），

即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，

即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a=，

（3）由题意，函数是定义域R上的奇函数，

根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.

考点四：奇偶性求解析式

6．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.

【详解】因为函数是奇函数，所以，