第14讲 对数函数（原卷版）_1.docxVIP

第14讲对数函数

【知识梳理】

知识点一对数函数的概念

一般地，把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

知识点二对数函数的图象与性质

对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：

定义

y＝logax(a0，且a≠1)

底数

a1

0a1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

共点性

图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值特点

x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；

x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)

x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；

x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]

对称性

函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称

【典型例题】

考点一：对数函数的定义域与定点

（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

（2021·江苏·高一专题练习）函数（且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则__________．

考点二：对数型函数单调性

（2022·江苏南通·高二期中）函数的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

（多选)（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）已知函数,则下列结论中正确的是（????）

A．在(0,1)单调递增

B．在(1,2)单调递减

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点(0,1)对称

（2021·江苏·高一专题练习）已知是上的减函数，那么的取值范围是（????）

A． B． C． D．

（2021·江苏·高一专题练习）若函数在区间单调递减，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

（2021·江苏·高一专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．

考点三：比较大小

（2022·江苏·高二期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（????）

A． B． C． D．

（2021·江苏·高一专题练习）（多选）已知正实数，满足，则（????）

A． B．

C． D．

考点四：对数型不等式的解法

（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）若函数，则不等式的解集是_________．

考点五：存在与恒成立问题

（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是___________.

（2019·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________

（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

（2021·江苏·高一专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

考点六：实际应用

（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）我们知道，任何一个正实数可以表示成（，），此时（）．当时，是位数．试用上述方法，判断是（????）位数．（）．

A．607 B．608 C．609 D．610

（2022·江苏南通·模拟预测）某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）

考点七：绝对值

（2021·江苏·高一专题练习）记在时的最大值为，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数，则满足的x的取值范围是________．

考点八：综合应用

（2021·江苏·高一专题练习）已知函数

(1)若关于的方程的两个实数根为，，且，求实数的值

(2)若，且在上恒成立，求实数的取值范围．

（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．

(1)求的值；

(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．

（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．

(1)求实数b的值；

(2)当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围．