第24练 平面向量的数量积及其应用（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_1.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第24练平面向量的数量积及其应用（精练）

刷真题

刷真题明导向

一、单选题

1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.

【详解】因为，所以，

则，，

所以.

故选：B.

3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

6．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（????）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量满足，

所以.

故选：B

7．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为,所以,

即,即,所以.

如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,

AB边上的高,

所以,

,

.

故选:D.

9．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

二、填空题

10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则______________．

【答案】

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

11．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．

【答案】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则________．

【答案】.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

13．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.

【答案】

【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案

【详解】∵

∴

∴.

故答案为：.

14．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

【答案】

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

15．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则______．

【答案】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为，即，

则，整理得，

又因为，即，

则，所以.

法