高中数学第三章圆锥曲线与方程 抛物线及其标准方程学案含解析北师大版选修2_1.docVIP

PAGE

§2抛物线

2．1抛物线及其标准方程

知识点一抛物线的定义

[填一填]

平面内与一个定点F和一条定直线l(不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线．

[答一答]

在定义中,隐含着定点F不在定直线l上．平面内到定点A(2,3)和定直线3x－4y＋6＝0距离相等的点的轨迹是抛物线吗？为什么？

提示：不是抛物线,而是过点A且与定直线垂直的一条直线,因为点A(2,3)在定直线3x－4y＋6＝0上．

知识点二抛物线的标准方程

[填一填]

焦点在x轴正半轴上,坐标为(eq\f(p,2),0),准线方程为x＝－eq\f(p,2)的抛物线的标准方程是：y2＝2px(p0)．

[答一答]

抛物线的标准方程共有几种形式？其每种形式表示的意义有什么不同？

提示：抛物线的标准方程有4种形式：

y2＝2px,y2＝－2px,x2＝2py,x2＝－2py.(p0)

y2＝2px表示焦点在x轴的正半轴上,坐标为(eq\f(p,2),0),准线方程为x＝－eq\f(p,2),p0的抛物线．

y2＝－2px表示焦点在x轴的负半轴上,坐标为(－eq\f(p,2),0),准线方程为x＝eq\f(p,2),p0的抛物线．

x2＝2py表示焦点在y轴的正半轴上,坐标为(0,eq\f(p,2)),准线方程为y＝－eq\f(p,2),p0的抛物线．

x2＝－2py表示焦点在y轴的负半轴上,坐标为(0,－eq\f(p,2)),准线方程为y＝eq\f(p,2),p0的抛物线．

1．抛物线定义的几个注意点：

(1)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线．

(2)定义的实质可归纳为“一动三定”,一个动点,设为M；一定点F,叫作抛物线的焦点；一条定直线l,叫作抛物线的准线；一定值,即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.

(3)由定义知抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等,因此这两种距离可以相互转化．凡涉及到抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为到准线的距离．

2．抛物线的标准方程的几个注意点：

(1)抛物线的标准方程有四种类型．若x为一次项,则焦点在x轴上；若y为一次项,则焦点在y轴上．

(2)标准方程中仅有一个参数p,它能确定抛物线的形状,是抛物线定形的条件．

(3)焦点F的位置,是抛物线定位的条件,它决定了抛物线方程的类型,也就是说,知道了焦点的位置,其标准方程就仅有一种形式,否则标准方程可能有四种类型．

(4)标准方程中右边一次项系数的正、负号决定抛物线的开口方向,若为正号,则抛物线的开口朝正方向,否则朝负方向．

(5)求抛物线标准方程常用的方法：

①待定系数法,即设出适合条件的抛物线的标准方程,利用已知条件建立待定系数的方程,并求解出待定系数,进而写出方程．

②定义法,抛物线的定义是求其标准方程的基础,只要由抛物线的定义得到参数p的值,即可求得抛物线的方程．

题型一抛物线的定义及其应用

【例1】(1)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切,又与直线x＋1＝0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()

A．y2＝8x B．y2＝－8x

C．y2＝4x D．y2＝－4x

(2)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1,求点M的轨迹方程．

【思路探究】(1)可利用抛物线定义的条件．

(2)解决此题应利用抛物线定义较简单．

【解析】(1)设动圆的半径为r,圆心为O′(x,y),且O′到点(2,0)的距离为r＋1,O′到直线x＝－1的距离为r,所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等,由抛物线的定义知y2＝8x.

(2)解：如图,设点M的坐标为(x,y)．

由已知条件,“点M到点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”,就是“点M到点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”．

根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线．

∵eq\f(p,2)＝4,∴p＝8.

∵焦点在x轴的正半轴上,

∴点M的轨迹方程为y2＝16x.

【答案】(1)A(2)见解析

规律方法若将条件化为|MF|＋1＝|x＋5|,其中|MF|用两点间距离公式表示,再化简也可得方程,但这种化简过程比较繁琐．

(1)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(D)

A．圆 B．椭圆

C．直线 D．抛物线

解析：(1)如图所示,设P为满足条件的一点,不难得出结论：P到点A的距离等于到y轴的距离,故点P在以A为焦点,以y轴为准线的抛物线上,故点P的轨迹为抛物线,因此选D.

(2)动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等,求动点M的轨迹方程．

解：方