人教版八年级数学上册 第十五章 分式知识归纳与题型突破（单元复习 18类题型清单）.pdfVIP

第十五章分式知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

02知识速记

一．分式的定义

（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．

（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．

（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号

的作用．

（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本

质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．

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（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）

÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）

﹣2﹣1﹣1

，y，则为分式，因为y＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．

二．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．

（2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

三．分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

四．分式的值

分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知

条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．

五．分式的基本性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

（2）分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．

【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题

1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中

的系数化为整数．

2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不

变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．

3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．

六．约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．

①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．

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②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．

（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最

大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

七．通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做

分式的通分．

（2）通分的关键是确定最简公分母．

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．

（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公

分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不

相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．

八．最简分式

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

和分数不能化简一样，叫最简分数．

九．最简公分母

（1）最简公分母的定义：

通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

（2）一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次

①

幂，所有不同字母都写在积里．

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字

母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

十．分式的加减法

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