《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学.pptxVIP

第三章一元函数积分学医学高等数学

第一节不定积分第四节定积分的计算第二节不定积分的计算第三节定积分第五节定积分的应用本章内容

案例导入：医学研究发现，皮肤伤口表面修复的速度为，其中A表示伤口的面积，假设A(1)=5cm2，问受伤5天后该病人伤口的表面积为多少?这个案例归纳为求谁的导数等于该函数的问题，这正是我们本节讲的原函数。第二章我们学习了怎样求一个函数的导数和微分，但在科学技术和实际问题中常常需要讨论与它相反的问题，即要求一个可导函数，使它的导数等于已知函数，这是积分学的基本问题之一。第一节不定积分

定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x∈I，都有或那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。因，故sinx是cosx的一个原函数。又因为，故sinx+1也是cosx的一个原函数。由此可见一个函数的原函数不是惟一的。1.原函数与不定积分的概念一、不定积分的概念

1.连续的函数一定有原函数。需注意：2.若，那么对任意常数C，显然也有，即如果F(x)是f(x)的原函数，那F(x)+C也是f(x)的原函数。3.当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合为。

定义2如果在区间I上函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分，记为其中，记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，任意常数C称为积分常数。由以上定义可知，若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即。因而不定积分表示f(x)的所有原函数。

例1求。解由于，所以，是的一个原函数，因此

解所以例2求。当时，，则。当时，，则。

由不定积分的定义，容易推出下列性质：（1）或；（2）或。2.不定积分的性质上面性质表明，先积分后微分（或求导），则两者的作用相互抵消；反过来，先微分后积分，则在两者作用抵消后，加上任意常数。它们表达了积分与微分的互逆关系。另外以上性质也说明了可以利用微分（或求导）运算检验积分的结果是否正确。

解例3求。解例4求。

当积分常数C取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数。从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数f(x)的积分曲线族，如图所示。（1）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着y轴的方向上下平移得到；（2）对应同一横坐标x的点，其所有切线互相平行。

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；