第03讲 交集、并集（解析版）_1.docx

第三讲交集、并集

【知识梳理】

1．交集与并集的概念

名称

表示

交集

并集

自然语言

由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合

符号语言

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

读法

A交B

A并B

Venn图

[点拨]

(1)两个集合的并集、交集也是一个集合．

(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．

(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.

2．交集和并集的性质

交集的性质

并集的性质

A∩B?AA∩B?B

A?A∪BB?A∪B

A∩B＝B∩A

A∪B＝B∪A

A∩A＝A

A∪A＝A

A∩?＝?

A∪?＝A

A?B?A∩B＝A

A?B?A∪B＝B

3．数集的区间表示

设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定：

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|a＜x＜b}

开区间

(a，b)

{x|a≤x＜b}

半开半闭区间

[a，b)

{x|a＜x≤b}

半开半闭区间

(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤b}

(－∞，b]

{x|x＜b}

(－∞，b)

R

(－∞，＋∞)

取遍数轴上所有的值

[点拨]

(1)数轴上闭区间的端点用实心点表示，开区间的端点用空心点表示，要注意区别；

(2)区间的左端点一定小于区间的右端点；

(3)集合{x|x≥a}不能写成闭区间[a，＋∞]．

【典型例题】

考点一：集合的交、并运算

设集合A＝{x|－5≤x≤2}，B＝{x||x＋3|＜3}，则A∪B＝（???????）

A．[－5，0） B．（－6，2] C．（－6，0） D．[－5，2）

【答案】B

【解析】

【分析】

解出集合B，由集合的并集运算求解即可.

【详解】

解：由可得，解得，

所以，

所以A∪B＝，

故选：B.

设集合，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两集合元素的特征判断即可；

【详解】

解：因为集合为点集，集合为数集，所以，

故选：D

已知全集为，集合，集合，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用题意首先求得补集，然后进行交集运算即可求得最终结果.

【详解】

集合，4，，集合，，

由补集的定义可得：，，，

然后进行交集运算可得：.

故选：C.

考点二：由集合的并集、交集求参数

已知集合，，若，则实数a的值为（???????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的交集运算即可解出．

【详解】

因为，所以或，解得：．

故选：C．

已知，，，则实数的取值范围是______

【答案】或

【解析】

【分析】

由可得，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案.

【详解】

由题意，则

要使得，则或

解得或

故答案为：或

设，，若，则实数的值______．

【答案】0，，.

【解析】

【分析】

解出集合，由，可得出，然后分和两种情况讨论，可得出实数的值.

【详解】

，

且，

.

当时，则，此时成立；

当时，则，

此时，

则有或，解得或.

因此，实数的取值是或或.

故答案为：0，，.

已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1x6}，C＝{x|xa}，U＝R.

(1)求A∪B，；

(2)若A∩C≠?，求a的取值范围.

【答案】(1)A∪B＝{x|1x≤8}，{x|1x2}

(2){a|a8}

【解析】

【分析】

（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；

（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.

(1)

A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1x6}＝{x|1x≤8}.

∵＝{x|x2或x8}，

∴∩B＝{x|1x2}.

(2)

∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，

∴a8.

∴a的取值范围为{a|a8}.

已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【解析】

【分析】

（1）首先得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；

（2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；

(1)

解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．

(2)

解：因为，所以，

①当时，，解得，符合题意；．

②当时，，解得．

故的取值范围为．

已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（）

A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由集合B可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可