第04讲 常用逻辑用语（解析版）_1.docx

常用逻辑用语

【知识梳理】

知识点一命题

(1)命题定义：在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题．

(2)分类：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))

特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素：

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假．

(2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

命题的形式

命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

知识点二充分条件与必要条件

命题真假

若“p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p?q

p?q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

知识点三充要条件的概念

(1)定义：若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

知识点四全称量词与全称命题

全称量词

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号

?

全称量词命题

含有全称量词的命题

形式

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”

知识点五存在量词与特称命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示

?

存在量词命题

含有存在量词的命题

形式

“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”

知识点六全称量词命题的否定

全称命题p

￢p

结论

?x∈M，p(x)

?x0∈M，￢p(x0)

全称量词命题的否定是存在量词命题

知识点七存在量词命题的否定

存在量词命题p

存在量词p

结论

?x0∈M，p(x0)

?x∈M，￢p(x)

存在量词命题的否定是全称量词命题

【典型例题】

考点一：命题的真假判断

如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）

【答案】真

【解析】

【分析】

直接根据不等式的性质即可得出结论.

【详解】

解：因为，则，

所以，

所以如果，那么”是真命题.

故答案为：真.

下列命题是假命题的为（???????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】

A选项，若，则，A正确.

B选项，若，则，B错误.

C选项，时，不能得到，C错误.

D选项，，但，D错误.

故选：BCD

若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围．

【答案】且.

【解析】

【分析】

方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果.

【详解】

由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且.

考点二：充要条件的判断

已知，则“”是“”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】

对于不等式，可解得或.

所以可以推出，而不可以推出.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

已知，则“”是“”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据充分与必要条件的概念，举例判断即可

【详解】

当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件

故选：D

“”是关于的不等式的解集为R的（???????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.

【详解】

若，取时，不等式，此时不等式解集为；

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当，且时，不等式，

所以，若关于的不等式的解集为R，则.

综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.

故选：B

“a－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（???????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.

【详解】

当时，方程即为，解得；

当时，，得，；

所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”

“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；

所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条